“God not only plays dice in quantum mechanics, but even with the whole numbers”⁽¹⁾

Gregory Chaitin

      T Trong số các nhà khoa học, có lẽ các nhà toán học, và nhất là giới giảng dạy toán, là những người bảo thủ nhất. Bằng chứng là đa số những người này đã bất chấp bài học tầy liếp của Frege⁽²⁾, bất chấp Định Lý Bất Toàn của Gödel, và bất chấp hàng đống sự kiện thực tế trong khoa học và đời sống, vẫn tiếp tục theo đuổi tư tưởng lỗi thời của Chủ Nghĩa Hình Thức do David Hilbert đề xướng từ đầu thế kỷ 20. Họ tiếp tục đề cao toán học như một hệ thống chân lý tuyệt đối, và do đó đã ra sức nhồi nhét logic và tập hợp vào chương trình toán học phổ thông, sính trình bầy các khái niệm đơn giản bằng ngôn ngữ hình thức phức tạp, sáo rỗng, xa rời cuộc sống, làm cho môn Toán càng ngày càng trở nên nặng nề, rắm rối, mất sức sống. Điều này đã được John Casti và Werner DePauli nói rõ trong cuốn “Gödel, A Life of Logic” (Gödel, Một cuộc đời vì Logic): “Thậm chí sau khi Gödel và Turing đã chỉ ra rằng giấc mơ của Hilbert chỉ là hão huyền, trên thực tế phần lớn các nhà toán học vẫn tiếp tục theo đuổi tinh thần của Hilbert, dù nhiều hơn hoặc ít hơn so với trước kia”⁽³⁾.

      “Tuy nhiên”, Casti và Pauli lưu ý, “computer đang thay đổi cách chúng ta giải quyết các công việc. Có thể dễ dàng thực hiện một thí nghiệm toán học trên computer và thu được một kết quả, nhưng không phải lúc nào cũng dễ dàng sáng tạo ra một chứng minh để giải thích kết quả đó. Để vượt qua điều này, các nhà toán học đôi khi buộc phải chấp nhận cách thức giải quyết vấn đề theo kiểu thực tiễn hơn, giống như các nhà vật lý vậy”.

      Điều đó có nghĩa là toán học xét cho cùng cũng chỉ là một khoa học kinh nghiệm tương tự như vật lý và các khoa học thực tiễn khác mà thôi. Tham vọng đạt tới những lý luận tuyệt đối chặt chẽ, lý tưởng, thuần tuý logic hình thức, thoát ly thực tiễn, v.v. chỉ là tham vọng của sáu anh mù trong truyện “Thầy Bói Xem Voi”⁽⁴⁾. Nói cách khác, tư tưởng của Chủ Nghĩa Hình Thức đã trở nên quá lỗi thời, vì thực ra chân lý toán học không phải là một hệ thống logic chặt chẽ và hoàn chỉnh đến mức tất yếu “phải biết và sẽ biết” như David Hilbert từng nghĩ; Chân lý toán học thực ra mang tính ngẫu nhiên, thay vì tất nhiên và xác định như nhiều người vẫn tưởng!

      Để hiểu rõ nhận định trên, xin giới thiệu với độc giả bài báo “Người tìm ra số Omega” (The Omega Man) trên New Scientist ngày 10-03-2001 mà sau đây là những nét tóm lược.  
 

      1* Người tìm ra số Omega: 
 

      Hai cộng hai là bốn: Không ai tranh cãi chuyện đó. Các nhà toán học có thể chứng minh điều đó một cách chặt chẽ, và ngoài ra còn chứng minh nhiều chuyện khác nữa. Ngôn ngữ toán học cho phép họ đưa ra những phương pháp rõ ràng rành mạch để mô tả mọi thứ xẩy ra trong thế giới xung quanh, hoặc ít ra là họ đã từng nghĩ như vậy.

      Nhưng Gregory Chaitin, một nhà nghiên cứu toán học tại Trung tâm nghiên cứu T. J. Watson của tổ hợp IBM tại quận Yorktown Heights, New York, đã chỉ ra rằng thực ra các nhà toán học cũng chẳng chứng minh được nhiều lắm đâu. Làm toán, ông nói, thực ra cũng chỉ là một quá trình khám phá giống y như mọi ngành khác của khoa học: Đó là một lĩnh vực thực nghiệm mà ở đó các nhà toán học tình cờ gặp những sự thật tương tự như các nhà động vật học có thể tình cờ gặp một loài linh trưởng mới mà thôi.  

      Xưa nay toán học luôn luôn được coi là tránh khỏi tính bất định và có thể cung cấp một nền tảng vững chắc và tinh khiết cho những lĩnh vực khoa học khác vốn bị coi là hỗn độn. Nhưng thực ra chính bản thân toán học cũng hỗn độn, Chaitin nói, các nhà toán học giống y như mọi người khác cũng chỉ hành động theo trực giác và trải nghiệm bởi các ý tưởng mà thôi. Nếu các nhà động vật học nghĩ đến một cái gì đó mới nẩy sinh trong những khu rừng chưa được thám hiểm ở Madagascar thì các nhà toán học cũng có linh cảm về cái tạo nên vẻ đẹp toán học để khai thác. Chủ đề nghiên cứu của toán học thực ra cũng chẳng có gì sâu sắc hơn thế.

      Lý do để Chaitin nói ra những lời khiêu khích như vậy là vì ông đã khám phá ra rằng trong cốt lõi của toán học có đầy những lỗ hổng. Chaitin đã chứng minh rằng có một số vô hạn những sự kiện toán học nhưng phần lớn những sự kiện đó không liên hệ với nhau và không thể trói buộc chúng với nhau bằng những định lý thống nhất. Nếu các nhà toán học tìm thấy bất kỳ liên hệ nào giữa những sự kiện này thì đó chỉ là may mắn tình cờ. “Phần lớn toán học đúng mà chẳng có lý do đặc biệt nào cả, toán học đúng bởi những lý do ngẫu nhiên”, Chaitin nói như vậy.

      Đây là một tin tức đặc biệt xấu đối với các nhà vật lý vốn có khát vọng tìm thấy một mô tả đầy đủ và chính xác về Vũ Trụ. Toán học là ngôn ngữ của vật lý, do đó khám phá của Chaitin ngụ ý rằng sẽ chẳng bao giờ có một “Lý thuyết về mọi thứ” (TOE – Theory of Everything) đáng tin cậy – một lý thuyết tổng kết một cách gọn gàng toàn bộ những đặc trưng cơ bản của hiện thực trong một tập hợp các phương trình. Đó là một viên thuốc đắng khó nuốt, nhưng ngay cả Steven Weinberg, một nhà vật lý từng đoạt Giải Nobel và tác giả của cuốn Dreams of a Final Theory (Giấc mơ về một Lý Thuyết Cuối Cùng) cũng phải nuốt. Weinberg thừa nhận: “Chúng ta sẽ chẳng bao giờ khẳng định được chắc chắn rằng lý thuyết cuối cùng của chúng ta là phi mâu thuẫn về mặt toán học”.

      Lời nguyền toán học của Chaitin không phải là một định lý trừu tượng hoặc một phương trình không thể hiểu nổi: Nó đơn giản chỉ là một con số. Chaitin gọi số đó là Omega (W). Giống như Pi (p) là một số thực dài vô hạn, Omega cũng là một số thực dài vô hạn, nhưng Omega là một số không thể tính được (uncomputable). Chaitin nhận ra rằng Omega đã nhiễm độc toàn bộ toán học, đặt ra giới hạn căn bản đối với cái chúng ta có thể biết. Hơn thế nữa, Omega mới chỉ là sự khởi đầu, thậm chí còn có nhiều con số phiền toái khác mà Chaitin gọi là những số Siêu-Omega – những con số thách thức mọi tính toán ngay cả khi chúng ta cố gắng mọi cách để hiểu được Omega. Dòng giống Omega – dòng giống những con số không thể tính được – đã để lộ ra rằng toán học không chỉ bị nhậy cắn thủng lỗ chỗ, mà hầu như đã bị thủng bởi những lỗ hổng toang hoác: Tình trạng hỗn độn, phi trật tự hoá ra là bản chất cốt lõi của Vũ Trụ.  
 

      2* Sự Cố Dừng của Alan Turing:  
 

      Chaitin khám phá ra Omega và những tính chất đáng ngạc nhiên của nó khi ông vật lộn với hai khám phá có ảnh hưởng lớn nhất trong toán học thế kỷ 20:

      Năm 1931, nhà toán học Áo Kurt Gödel chỉ ra một lỗ hổng lớn trong toán học: Định Lý Bất Toàn của ông chỉ ra rằng có những định lý toán học không thể chứng minh được;

      5 năm sau, nhà toán học Anh Alan Turing xây dựng một công trình dựa trên công trình của Gödel. Sử dụng một computer giả thuyết, Turing chỉ ra rằng có một cái gì đó không thể tính toán được: Không thể có một chỉ dẫn nào cho computer để nó có thể tiên đoán một chương trình cho trước sẽ chạy mãi mãi họăc dừng lại. Muốn biết một chương trình liệu cuối cùng có dừng lại hay không, bạn phải đợi một ngày, hoặc một tuần, hoặc một tỷ năm, hoặc tiếp tục chạy chương trình đó mãi mãi và kiên trì chờ đợi. Turing gọi sự cố này là Sự Cố Dừng (The Halting Problem).

      Vài thập kỷ sau, trong những năm 1960, Chaitin tiếp tục nghiên cứu Sự Cố Dừng. Ông xét tất cả các chương trình có thể có mà chiếc computer giả thuyết của Turing có thể chạy, rồi tìm xác suất để một chương trình chọn ngẫu nhiên trong số tất cả những chương trình có thể có sẽ dừng lại. Sau gần 20 năm nghiên cứu, cuối cùng Chaitin chỉ ra rằng “xác suất dừng” do ông nêu lên đã biến Sự Cố Dừng của Turing thành vấn đề tìm một số thực nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

      Chaitin gọi số đó là Omega và kết luận: Nếu không thể tiên đoán một chương trình cho trước sẽ dừng hay không thì cũng không thể có một chương trình nào cho phép xác định được các chữ số của Omega – Omega là một số không thể tính được hoặc không thể biết được (unkowable)!

      Có những con số tuy rất dài nhưng vẫn có thể tính được nếu tồn tại một chương trình hữu hạn cho phép xác định lần lượt từng chữ số của nó đến chừng nào còn có thể tiếp tục công việc, vấn đề chỉ là thời gian và khả năng cho phép của computer. Chẳng hạn Pi (p) là một số vô tỷ – một số thập phân vô hạn không tuần hoàn – nhưng vẫn có thể tính được, vì có một chương trình cho phép xác định mọi chữ số của nó đến chừng nào mà thời gian và khả năng của computer cho phép. Nhưng không có một chương trình nào tương tự như thế đối với Omega: Trong hệ nhị phân, Omega gồm một dãy vô hạn các chữ số 0 và 1 xuất hiện một cách ngẫu nhiên. “Omega không có một hình mẫu hoặc một cấu trúc nào cho nó. Đó là một dãy vô hạn các chữ số 0 và 1 mà mỗi chữ số sau chẳng liên hệ gì với chữ số đứng trước, giống như gieo các đồng xu liên tiếp nhau vậy”, Chaitin nói.

      Tóm lại, quá trình dẫn Chaitin tới kết luận Omega là một con số không thể biết cũng tương tự như quá trình dẫn Turing tới kết luận Sự Cố Dừng là không thể quyết định được. “Đó là thí dụ đặc sắc về một cái gì đó không thể biết trong toán học”, Chaitin nói.

 

Gregory Chaitin, người khám phá ra số  Omega 

 

      3* Tính ngẫu nhiên trong nền tảng toán học: 
 

      Một con số không thể biết sẽ chẳng đáng để ý nếu nó không gây nên những chuyện phiền toái. Nhưng ngay khi khám phá ra Omega, Chaitin bắt đầu băn khoăn tìm hiểu xem liệu nó có ý nghĩa gì trong thế giới hiện thực hay không. Do đó ông quyết định nghiên cứu lĩnh vực toán học liên quan tới Omega, đó là Lý Thuyết Số (number theory).

      Lý Thuyết Số là nền tảng của toán học thuần tuý. Nó mô tả những khái niệm liên quan tới phép đếm, phép cộng và phép nhân. Nghiên cứu của Chaitin bắt đầu từ những “phương trình Đi-ô-phăng” (Diophantine equations)⁽⁵⁾ – những phương trình chỉ liên quan tới phép cộng, phép nhân và phép luỹ thừa các số nguyên.

      Chaitin đã thiết lập một phương trình Diophantine dài tới 200 trang với 17000 biến số (!). Về lý thuyết, phương trình có thể có 10 nghiệm, 20 nghiệm hoặc thậm chí một số vô hạn nghiệm. Nhưng Chaitin không quan tâm tới các nghiệm riêng biệt mà chỉ quan tâm xem số nghiệm là hữu hạn hay vô hạn.

      Chaitin làm như vậy vì ông biết đó là chìa khoá để tìm hiểu Omega.

      Chìa khoá này dựa trên kết quả nghiên cứu của James Jones tại Đại học Calgary và Yuri Matijasevic tại Viện toán học Steklov ở St Petersburg: Các nhà toán học này đã chỉ ra rằng câu hỏi trong Sự Cố Dừng của Turing tương đương với việc giải phương trình Diophantine dưới dạng tổng quát, tức Bài toán số 10 của Hilbert. Họ tìm thấy mối liên hệ giữa nghiệm của phương trình với Sự Số Dừng, trong đó khẳng định rằng nếu một chương trình riêng biệt nào đó không bao giờ dừng thì sẽ có một phương trình Diophantine tương ứng vô nghiệm. Do đó, các phương trình Diophantine sẽ tạo nên chiếc cầu nối Sự Cố Dừng của Turing, tức xác suất dừng của Chaitin, với các phép toán cộng và nhân trên các số nguyên.

      Ứng dụng mối liên hệ đó, Chaitin đã xây dựng phương trình của mình sao cho có một biến số đặc biệt được coi như một thông số mà ông gọi là N. Thông số này sẽ cung cấp chìa khoá để tìm hiểu Omega. Khi thay N bằng những giá trị thích hợp, về lý thuyết mà nói, việc phân tích phương trình sẽ cung cấp các chữ số của Omega. Cụ thể khi thay N bằng 1, ông tìm hiểu xem liệu phương trình đã cho sẽ có một số hữu hạn hay vô hạn các nghiệm nguyên. Câu trả lời sẽ cho chữ số thứ nhất của Omega: Nếu phương trình có một số hữu hạn nghiệm thì Omega sẽ có chữ số tương ứng là 0, nếu vô hạn nghiệm sẽ cho chữ số tương ứng là 1.

      Thay N =2 và đặt câu hỏi tương tự về nghiệm của phương trình sẽ xác định được chữ số thứ hai đối với Omega. Quá trình đó, về lý thuyết, có thể kéo dài mãi mãi. Chaitin nói: “Phương trình của tôi được xây dựng sao cho khi thay đổi thông số và tìm hiểu xem phương trình có hữu hạn hay vô hạn nghiệm, từ đó xác định các bit (đơn vị thông tin đồng thời là các chữ số) của Omega”.

      Nhưng vì Omega là một con số không thể biết, các chữ số của Omega xuất hiện ngẫu nhiên và độc lập với nhau, suy ra rằng mỗi câu trả lời đối với phương trình (khi nào có hữu hạn nghiệm hay vô hạn nghiệm) cũng là điều không thể biết và độc lập với mọi câu trả lời khác. Nói cách khác, tính ngẫu nhiên của các chữ số của Omega đặt ra giới hạn đối với cái có thể biết từ Lý Thuyết Số – lĩnh vực toán học cơ bản nhất. “Nếu tính ngẫu nhiên có mặt ngay trong một lĩnh vực cơ bản nhất như Lý Thuyết Số thì nó còn có mặt ở đâu nữa?”, Chaitin nêu câu hỏi, rồi ông trả lời: “Linh cảm của tôi cho thấy nó có mặt ở khắp nơi. Tính ngẫu nhiên là nền tảng thật sự của toán học”.  
 

      4* Những số Siêu-Omega: 
 

      Nhà  toán học John Casti ở Viện Santa Fe thuộc tiểu bang New Mexico, đồng thời là giáo sư Đại Học Công Nghệ Vienna cho rằng vấn đề tính ngẫu nhiên có mặt ở khắp nơi sẽ dẫn tới những hệ quả vô cùng sâu sắc. Điều đó có nghĩa là một vài lĩnh vực của toán học có thể có liên hệ với nhau nhưng mối liên hệ trên hầu hết các lĩnh vực thì không tồn tại. Và nếu không tạo được những mối liên hệ trên phạm vi tổng quát, sẽ có nhiều bài toán không thể giải được và nhiều định lý không thể chứng minh được. Tất cả những gì mà một nhà toán học có thể làm là liên kết những phần nhỏ bé của toán học lại với nhau. “Công trình của Chaitin chỉ ra rằng phạm vi những bài toán có thể giải được chỉ giống như một hòn đảo nhỏ trên một đại dương bao la của các mệnh đề không thể quyết định được”, Casti nói.

      Chẳng hạn hãy xét bài toán tìm số lẻ hoàn hảo. Một số hoàn hảo là số có tổng các ước của nó bằng chính nó. Thí dụ 6 là một số hoàn hảo, vì các ước của nó là 1, 2, 3 và 1 + 2 + 3 = 6. Có vô số các số chẵn là số hoàn hảo, nhưng chưa ai tìm thấy một số lẻ hoàn hảo, và cũng chưa ai chứng minh được rằng số lẽ không thể là số hoàn hảo. Những giả thuyết không chứng minh được kiểu như thế, hoặc Giả Thuyết Riemann chẳng hạn, đã trở thành nền tảng không chắc chắn của rất nhiều định lý khác⁽⁶⁾. Chaitin gợi ý rằng đó có thể là những thí dụ điển hình của những chân lý không thể chứng minh được. Nói cách khác, có những chân lý mà các nhà khoa học luôn luôn chỉ có thể đặt niềm tin vào chúng, thay vì chứng minh chúng.

      Không có gì đáng ngạc nhiên khi các nhà toán học phải khó khăn lắm mới có thể chấp nhận số Omega. Nhưng như thế vẫn chưa hết. Còn có những chuyện vượt quá Omega: Trong cuốn sách mới nhất mang tên  Exploring Randomness (Khảo sát tính ngẫu nhiên)⁽⁷⁾, Chaitin còn đề cập tới những số “Siêu-Omega”.

      Giồng như Omega, những số Siêu-Omega cũng có nguồn gốc từ Sự Cố Dừng của Turing. Chaitin tưởng tượng ra một chiếc computer mạnh gấp bội so với computer hiện nay, siêu phàm tới mức có thể biết cái không thể biết – có thể “tiên tri” một chương trình riêng biệt nào đó sẽ dừng hay chạy mãi mãi, tức là có thể trả lời được Sự Cố Dừng của Turing. Tạm gọi những computer có khả năng siêu phàm này là những “computer siêu phàm” hoặc “computer tiên tri” (oracle computer). Thật vậy, ngay khi khám phá ra số Omega, Chaitin đã lập tức tưởng tượng ra một khả năng “tiên tri” nào đó cho phép biết được số Omega. Nhưng ông lập tức nghĩ rằng nếu vậy thì chiếc “computer tiên tri” này, đến lượt nó, lại có một xác suất dừng không thể biết, được gọi là Omega' (Omega prime, tức Omega phẩy). 

      Nhưng nếu người ta có cách để biết Omega thì dễ dàng tưởng tượng một khả năng “tiên tri cấp hai” sẽ cho phép biết được Omega'. Chiếc “máy siêu tiên tri” này, đến lượt nó, lại có một xác suất dừng Omega'', xác suất này chỉ có thể biết được với một khả năng “tiên tri cấp 3”, và quá trình đó cứ thế tiếp tục mãi mãi. Theo Chaitin, tồn tại một chuỗi vô hạn các số Omega ngẫu nhiên với cấp độ cứ thế mà tăng lên.

      Trong nhiều thập kỷ, Chaitin giữ kín những con số này, vì nghĩ rằng chúng quá quái gở để nêu lên ý nghĩa thực tiễn. Giống như Turing đã từng có lúc nghĩ rằng chiếc máy tính giả thuyết của mình chỉ là một chuyện tưởng tượng, Chaitin cũng từng nghĩ rằng những số Siêu-Omega chỉ là những con số tưởng tượng xuất phát từ những chiếc máy tưởng tượng. Nhưng Veronica Becher tại Đại Học Buenos Aires ở Argentina đã gây bất ngờ khi chứng minh rằng những số Siêu-Omega vừa hiện thực vừa có ý nghĩa rất quan trọng. Chaitin thốt lên: “Thật không thể tin nổi, chúng thực sự có một ý nghĩa thực tế đối với computer trong thực tế”.  
 

      5* Những lỗ hổng lớn trong toán học: 
 

      Becher đã cộng tác với Chaitin trong một năm trời, và đã tìm mọi cách giúp Chaitin tìm ra ý nghĩa thực tiễn của các số Siêu-Omega. Với tư cách một nhà khoa học computer, bà băn khoăn suy nghĩ liệu có tồn tại những mối liên hệ giữa các số Siêu-Omega với computer hiện nay hay không.

      Computer thực tế hiện nay không chỉ thực hiện những tính toán hữu hạn, mà còn thực hiện những tính toán vô hạn, tạo ra một số vô hạn các kết quả. “Nhiều chương trình ứng dụng được thiết kế để tạo ra một số vô hạn các kết quả ở đầu ra (output)”, Becher nói. Thí dụ như những trang tìm kiếm trên mạng như Netscape hoặc hệ điều hành Windows 2000. 

      Từ đó Becher đã hướng vào nghiên cứu xác suất để một computer sau một quá trình tính toán vô hạn sẽ chỉ tạo ra một số hữu hạn các kết quả. Để làm điều này, Becher và học trò của bà là Sergio Daicz đã sử dụng một kỹ thuật do Chaitin nghĩ ra. Họ sử dụng một computer thực tế hiện nay và tìm cách biến nó thành một computer gần như siêu phàm để thực hiện “tiên tri”. Phép “tiên tri giả” (fake oracle) quyết định rằng một chương trình sẽ dừng khi và chỉ khi nó dừng trong một phạm vi thời gian T hữu hạn. Đó là một “dị bản yếu” (weakened version) của Sự Cố Dừng. Xác suất dừng, tức số Omega, tuy không thể tính được, nhưng xác suất dừng đối với “dị bản yếu” thì dễ dàng xác định được. Sau đó chỉ việc cho T tiến tới vô cùng. Phương pháp đó cho phép giảm thiểu những sai lệch của “tiên tri giả” khi cho máy chạy càng lâu vàng tốt.

      Sử dụng nhiều biến thể của kỹ thuật này, Becher và Daicz đã khám phá ra rằng xác suất để một quá trình tính toán vô hạn sản ra chỉ một số hữu hạn các kết quả ở đầu ra cũng tương tự như Omega' – xác suất dừng của “computer siêu phàm”. Tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, họ chỉ ra rằng Omega'' tương đương với xác suất để một computer, trong quá trình tính toán vô hạn,

không tạo ra được một kết quả nào cả.

      Những việc này có vẻ như chẳng thú vị gì, nhưng Chaitin tin rằng đó là một bước tiến quan trọng. “Công trình của Becher làm cho toàn bộ hệ thống thang bậc của Omega dường như đáng tin cậy hơn”, Chaitin nói.

      Tóm lại, những gì mà Turing và Chaitin nghĩ là chuyện mơ tưởng đã thật sự mang tính hiện thực.  

Veronica Becher tại Hội nghị lần thứ 4 về Tính toán Logic và Ngẫu nhiên

(4^th Conference on Logic Computability and Randomness)

Marseille, Pháp, từ 29-06 đến 03-07-2009  

 

      Sau khi thấy những số Siêu-Omega bộc lộ dần ý nghĩa hiện thực, Chaitin tin rằng chúng cũng sẽ lộ diện trong toàn bộ toán học, giống như Omega. Những số Siêu-Omega thậm chí còn mang tính ngẫu nhiên cao hơn Omega: Nếu toán học vượt qua được những chướng ngại do Omega gây ra, họ sẽ phải đối mặt với một rào cản chưa từng gặp khi họ giáp mặt với những kết quả của Becher.

      Và điều này còn gây nên những hậu quả ở những nơi khác nữa. Becher và Chaitin nhận định rằng mặc dù những khám phá mới nhất của họ còn phải tiếp tục làm cho rõ ràng hơn nữa, nhưng những kết quả hiện nay đã đủ để thấy rằng bất kỳ một TOE (Lý Thuyết Về Mọi Thứ) nào, khi cố gắng nối kết mọi yếu tố của Vũ Trụ, cũng sẽ phải vượt qua một số vô hạn các rào cản để chứng minh giá trị đích thực của nó.

      Việc khám phá ra số Omega đã để lộ cho thấy những lỗ hồng lớn trong toán học, làm cho việc nghiên cứu trong lĩnh vực này có vẻ giống như trò chơi xổ số, và nó phá huỷ niềm hy vọng về một Lý Thuyết Về Mọi Thứ. Ai mà biết được những số Siêu-Omega còn có những khả năng gì nữa? “Và đây mới chỉ là bước khởi đầu”, Chaitin cảnh báo! 
 

      6* Kết: 
 

      Công trình của Chaitin đã mở ra một hướng mới trong toán học, vật lý và khoa học computer: Nghiên cứu computer lượng tử nhằm vượt qua Sự Cố Dừng, tức là tìm cách “biết cái không thể biết” (to know the unknowable). Đó là một trong các lĩnh vực mũi nhọn của khoa học hiện đại, nơi các trung tâm khoa học cự phách nhất của thế giới đang chạy đua ráo riết để bứt phá, nhằm vượt qua cái ngưỡng không thể vượt qua của computer hiện tại. Trong cuộc chạy đua này, có một nhà khoa học Úc gốc Việt, Giáo sư Kiều Tiến Dũng⁽⁸⁾ tại Đại Học Swinburne, Melbourne, Australia, đã đạt được những thành tựu làm sửng sốt giới khoa học tính toán toàn thế giới.

      Tuy nhiên, điều chủ yếu mà bài viết này muốn gửi tới độc giả là tư tưởng chứa đựng trong tuyên bố bất hủ của Chaitin: “Chúa không chỉ chơi trò súc sắc trong cơ học lượng tử, mà ngay cả với các số nguyên” (God not only plays dice in quantum mechanics, but even with the whole numbers).

      Điều đó có nghĩa là đã đến lúc giới giảng dạy toán học cần nhận thức lại bản chất của toán học, để có một đường lối giảng dạy đúng đắn hơn, tránh biến toán học thành một khoa học hình thức sáo rỗng, nặng nề và nhàm chán như trong trường phổ thông hiện nay. 
 

                                                          Sydney ngày 01 tháng 09 năm 2009

                                                                              

                                                                                 PVHg 
 

      Chú  thích:   
 

      (1): Xem “Gödel, A Life of Logic”, John Casti & Werner DePauli, Perseus Publishing 2000, New York, trang 189.

      (2): Xem “Lời sám hối của một nhà toán học hình thức”, Phạm Việt Hưng, Khoa Hoc & Tổ Quốc tháng 05-2009

      (3): Như chú thích (1).

      (4): Xem “Thầy Bói Xem Voi”, Phạm Việt Hưng, Khoa Học & Tổ Quốc tháng 02-2009.

      (5): Định Lý Pythagoras hoặc Định lý cuối cùng của Fermat là những trường hợp riêng của Phương trình Diophantine. Phương trình Diophantine tổng quát là phương trình được nêu lên trong Bài toán số 10 của Hilbert, có dạng: p(x₁, x₂, ...., x_n) = 0 

      Trong đó vế trái là một đa thức của n biến số với các hệ số nguyên.

      (6): Xem New Scientist ngày 11-11-2000 trang 32

      (7): Xem New Scientist ngày 10-01-2001 trang 46

      (8): Xem “Computer lượng tử có thể biết cái không thể biết”, Phạm Việt Hưng, Tia Sáng số 10 Tháng 06-2003.