Lời sám hối của một nhà toán học hình thức 

“Nghịch lý tập hợp đã huỷ hoại lý thuyết tập hợp”

Gottlob Frege

     Nếu lòng dũng cảm và tính trung thực là thước đo nhân cách của một nhà khoa học thì Gottlob Frege (1848-1925) phải được coi là một trong những nhà khoa học có nhân cách vĩ đại nhất: Mặc dù cay đắng đến tột cùng khi tác phẩm để đời của ông – cuốn Cơ Sở Số Học⁽¹⁾ – bị sụp đổ tan tành chỉ vì một nghịch lý đã được phát hiện ngay trong nền tảng lý thuyết, nhưng Frege không tìm cách né tránh hoặc ngụy biện, mà ngược lại, đã xử sự như một người quân tử: Công khai thừa nhận sai lầm và rứt khoát từ bỏ lý tưởng toán học hình thức mà ông đã ấp ủ cả cuộc đời. Một năm trước khi mất, ông để lại những lời trăng trối vô cùng cảm động, như một lời sám hối về nhận thức sai lầm đối với bản chất của toán học.  
 

 

      “Lời của kẻ sắp mất là lời khôn”: Năm 1931, Kurt Godel công bố Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness), cho thấy lý tưởng của Chủ Nghĩa Hình Thức chỉ là một ảo tưởng hão huyền – một cái vòng luẩn quẩn của kẻ đi tìm điểm cuối trên một đường tròn!

      Trớ trêu thay, người vạch ra sai lầm của Frege lại là người vốn ngưỡng mộ Frege hết lòng: Đó là Bertrand Russell (1872-1970), một người luôn luôn khao khát tìm kiếm chân lý tuyệt đối của toán học như một con chiên ngoan đạo khao khát đức tin tôn giáo.  
 

      1] “Tôn giáo” của Bertrand Russell: 
 

      Trong cuốn “Portraits from Memory” (Những chân dung qua trí nhớ) Russell viết: “Tôi khao khát tìm kiếm cái chắc chắn (certainty) giống như người ta khao khát đức tin tôn giáo. Tôi nghĩ tính chắc chắn dường như có trong toán học nhiều hơn ở bất kỳ nơi nào khác”⁽²⁾. Nhưng ông không thoả mãn với những thứ toán học mà ông đã biết: “Tôi khám phá ra rằng nhiều chứng minh toán học, mà các thầy giáo của tôi muốn tôi chấp nhận, chứa đựng đầy rẫy sai lầm”⁽³⁾, Russell viết. Vì thế, ông cho rằng cần phải xây dựng lại toán học, sao cho toán học trở thành một hệ thống chân lý thật sự đáng tin cậy: “Nếu tính chắc chắn thật sự có thể tìm thấy trong toán học thì đó sẽ là một lĩnh vực mới của toán học, với những nền tảng vững chắc hơn những nền tảng mà cho tới nay người ta tưởng là đã vững chắc lắm rồi”⁽⁴⁾.  

      Với tư tưởng đó, Russell đã nghiễm nhiên gia nhập “phái nền tảng” (foundationism) – trường phái đòi xét lại nền tảng của toán học đầu thế kỷ 20. Phái này cũng chính là “phái hình thức” (formalism), bởi họ cho rằng muốn xây dựng lại toán học, phải triệt để hình thức hoá toàn bộ toán học, biến toán học thành một hệ logic tuyệt đối siêu hình, hoàn toàn tách rời thế giới hiện thực, như Russell tuyên bố: “Toán học là một khoa học mà trong đó người ta không bao giờ biết người ta đang nói về cái gì, miễn là cái điều người ta nói là đúng”⁽⁵⁾. Chẳng hạn, khi xét mệnh đề  2 + 3 = 5, toán học “chân chính” không cần biết ý nghĩa vật chất cụ thể của các số 2, 3, 5 là cái gì, miễn là có được những định nghĩa và tiên đề nào đó về số cho phép kiểm tra mệnh đề đã cho là đúng hay sai. Nói cách khác, Russell coi bản chất toán học là logic, toán học đồng nghĩa với logic-học: Đó chính là chủ nghĩa logic (logicism) mà Frege đã áp dụng để xây dựng bộ Cơ Sở Số Học và David Hilbert cũng đã áp dựng trước đó để xây dựng cuốn Cơ Sở Hình Học⁽⁶⁾.

      Chủ nghĩa ấy giống như một thứ “tôn giáo thiêng liêng”: “Tôi tin rằng toán học là nguồn chủ yếu của niềm tin vào chân lý vĩnh cửu và chính xác, cũng như vào một thế giới siêu việt có thể nhận biết được bằng trí óc”⁽⁷⁾, Russell viết. Chính vì khao khát nhận biết được cái “thế giới siêu việt” ấy nên Russell đã bàng hoàng xúc động khi đọc Cơ Sở Số Học của Frege, coi Frege như một ngôi sao dẫn đường của toán học hình thức.

      Nhưng ngưỡng mộ Frege bao nhiêu, ông cũng lo lắng cho Frege bấy nhiêu, vì ông cảm thấy một nghịch lý do chính ông khám phá ra trước đó có thể huỷ hoại công trình của Frege. Đó là “Nghịch Lý Russell” (Russell’s Paradoxe), một nghịch lý đã đi vào lịch sử toán học như một trong những nghịch lý nổi tiếng nhất! 
 

      2] Nghịch lý Russell: 
 

      Russell chia tập hợp thành hai loại:

      1* Tập thông thường (ordinary set), là tập hợp sao cho nó không phải là phần tử của chính nó (nó không thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp những chiếc xe máy là một tập thông thường, vì tập hợp ấy không thể là một chiếc xe máy.

Tập hợp những chiếc xe máy là một tập thông thường 
 

      2* Tập lạ thường (extraordinary set), là tập hợp sao cho nó là phần tử của chính nó (nó thuộc chính nó). Thí dụ: Tập hợp của tất cả những gì không phải là chiếc xe máy. Dễ thấy tập hợp này là một phần tử của chính nó, vì tập hợp này không phải là một chiếc xe máy.

      Có rất nhiều tập thông thường khác nhau cũng như có rất nhiều tập lạ thường khác nhau. Russell đề nghị xét một tập hợp đặc biệt, đó là Tập hợp của tất cả các tập thông thường. Ngay lập tức, cái đầu logic sắc sảo của Russell dẫn ông tới một câu hỏi lạ lùng nhưng lý thú:

      Tập hợp của tất cả các tập thông thường là một tập thông thường hay lạ thường?

      Câu hỏi trên dài quá, có thể làm mệt một số độc giả. Vậy xin rút gọn bằng cách gọi tập hợp của tất cả các tập thông thường là Tập Russell.

      Khi đó, câu hỏi của Russell sẽ là:

      Tập Russell là một tập thông thường hay lạ thường?

      Giả sử Tập Russell là tập thông thường, lập tức suy ra nó là một phần tử của chính nó (vì Tập Russell chứa tất cả các tập thông thường). Nhưng nếu nó là một phần tử của chính nó thì nó phải là tập lạ thường, vậy Tập Russell là tập lạ thường, mâu thuẫn với giả thiết!

      Giả sử ngược lại cũng dẫn tới mâu thuẫn. Tóm lại:

• Nếu Tập Russell là tập thông thường thì nó sẽ là tập lạ thường.

• Nếu Tập Russell là tập lạ thường thì nó sẽ là tập thông thường.

      Đó chính là Nghịch lý Russell, được trình bầy dưới dạng ký hiệu như trong minh hoạ sau:

Hình bên trái: Một cái hộp chứa chính nó - một sản phẩm phi thực tế. Hình bên phải: Một tập hợp chứa chính nó - một sản phẩm của logic hình thức thuần tuý.

Logic hình thức thừa nhận một khái niệm phi hiện thực – nguồn gốc của mâu thuẫn nghịch lý 
 

      “Thủ phạm” dẫn tới nghịch lý là Tập Russell, tức tập hợp của tất cả các tập thông thường. Đó cũng chính là “thủ phạm” gây ra BẤT ỔN ngay từ trong nền móng lý thuyết của Frege, bởi Frege đã xây dựng toà lâu đài số học của mình dựa trên khái niệm nền tảng là “tập hợp của các tập hợp”: 2 là tập hợp của các cặp đôi; 3 là tập hợp của các “bộ ba”, …

      Vốn ngưỡng mộ Frege hết lòng, Russell vội tìm cách cứu Frege. Ông viết thư thông báo cho Frege biết nghịch lý của mình, hy vọng Frege có thể sửa chữa được công trình, nhưng không ngờ lá thư ấy đã đẩy Frege xuống vực thẳm thất vọng, để cuối cùng dẫn ông tới một cuộc sám hối sâu sắc về nhận thức bản chất của toán học.  
 

      3] Lá thư quyết định số phận của Frege: 
 

      Ngày 16-06-1902, Bertrand Russell gửi tới Frege một lá thư, trong đó có đoạn viết: “Trong công trình của ngài, tôi tìm thấy những lý thuyết đẹp đẽ nhất trong thời đại của chúng ta mà tôi biết, và do đó tôi tự cho phép mình bầy tỏ một sự kính trọng sâu xa đối với ngài”⁽⁸⁾.

      Russell không chỉ viết thư cho cá nhân Frege, mà còn giới thiệu công trình của Frege với toàn thế giới, mà trước đó hầu như nó không được ai biết đến. Có lẽ tính hình thức quá nặng nề làm cho nó trở nên khô khan, khó hiểu, không hấp dẫn. Nhưng Russell “tiêu hoá” được nó, ngưỡng mộ nó, vì chính ông cũng đang cùng với Alfred Whitehead viết một công trình tương tự: Principia Matematica (Nguyên Lý Toán Học). Nhưng tại sao Russell đã khám phá ra nghịch lý của ông từ một năm trước khi gửi thư tới Frege, mà trong thư ông vẫn coi công trình của Frege là một đột phá, một lý thuyết đẹp đẽ nhất? Đơn giản vì Russell không bao giờ từ bỏ khát vọng tìm kiếm một hệ thống chân lý tuyệt đối của toán học. Có thể ông cho rằng về căn bản Frege đã đi đúng hướng, vấn đề là Frege chỉ cần xem xét lại, sửa chữa công trình sao cho hoàn chỉnh hơn mà thôi!

      Hoá ra tác giả của một trong những nghịch lý nổi tiếng nhất của toán học cũng không ý thức được rằng bản chất của toán học cũng như mọi hệ thống nhận thức khác vốn bất toàn – không tồn tại một hệ logic tuyệt đối phi mâu thuẫn – như 29 năm sau đó Godel đã chứng minh.

      Đó là lý do để Russell thông báo cho Frege biết nghịch lý của mình với một thái độ rất tao nhã, khiêm tốn: “Tôi tán thành với ngài về mọi điểm, nhưng chỉ có một điểm tôi gặp phải khó khăn …”⁽⁹⁾.

      Nhưng trong khi Russell khiêm tốn như thế thì chính Frege lại nhanh chóng nhận thấy nguy cơ sụp đổ toàn bộ công trình của đời mình.

      Với bản chất trung thực, thẳng thắn hiếm có, ông lập tức viết thư trả lời Russell, và viết ngay một phụ lục bổ xung vào Tập 2 của bộ Cơ Sở Số Học đúng vào lúc nó chuẩn bị được đem in, như một sự công khai thừa nhận thất bại của mình: “Không còn gì tồi tệ hơn có thể xẩy đến với một nhà khoa học khi phải chứng kiến nền tảng lý thuyết của mình sụp đổ đúng vào lúc công trình được hoàn thành. Tôi đã bị đặt vào tình thế này do vừa nhận được một lá thư từ ngài Bertrand Russell”⁽¹⁰⁾.

      Nhà khoa học có thể gặp nhiều nỗi cay đắng, nhưng hiếm có nỗi cay đắng nào giống như của Frege: Ông mất năm 1925 với tâm trạng của một kẻ tin rằng công trình của cả cuộc đời mình chỉ dẫn tới sự vô ích. Cái chết của ông không được cộng đồng khoa học biết tới⁽¹¹⁾.

      Thật là đau đớn, chua chát, nhưng có lẽ nỗi chua chát lớn nhất đối với Frege là sự vô tình của người đời trước những lời trăng trối vô cùng tha thiết của ông – những lời sám hối mà lẽ ra mọi người phải biết rõ. 
 

      4] Những lời sám hối của Frege:  
 

      Năm 1924, tức một năm trước khi mất, Frege trăng trối: “Nghịch lý tập hợp đã huỷ hoại lý thuyết tập hợp”. Rồi ông nói tiếp: “Tôi càng suy nghĩ về điều này thì tôi càng đi đến chỗ tin rằng số học và hình học đều nẩy sinh từ cùng một nền tảng, thực ra là từ nền tảng hình học; Do đó toàn bộ toán học thực ra là hình học”⁽¹²⁾.

      Nghĩa là ông đã vĩnh biệt giấc mơ hão huyền của chủ nghĩa hình thức để trở về với cái nôi hiện thực – cái nôi đã đẻ ra toán học. Để thấu hiểu cuộc “lột xác” này, xin độc giả nhớ lại quan điểm của Frege về hình học:

      Về hình học, ngay từ đầu Frege đã là một môn đệ trung thành của trường phái Kant, coi hình học là khoa học dựa trên trực giác, tức là dựa trên thực tiễn, và do đó đối kháng 100% với David Hilbert khi Hilbert muốn biến hình học thành một hệ logic hình thức thuần tuý.

      Hilbert vốn đã nổi tiếng nhưng lại càng nổi tiếng hơn vì một tuyên bố “bất hủ” của ông: “Bất kể lúc nào người ta cũng có thể nói về điểm, đường, mặt như là nói về cái bàn, cái ghế, và cốc bia”⁽¹³⁾. Có nghĩa điểm, đường, mặt trong thực tế là cái gì cũng không quan trọng, điều quan trọng là chúng có thoả mãn các mệnh đề logic (tiên đề, định lý) của hình học hay không.

      Ngược lại, đối với Frege, ý nghĩa của một mệnh đề hình học gắn chặt với ý nghĩa của những đối tượng hình học nằm trong mệnh đề đó. Nếu không hiểu hoặc hiểu sai những đối tượng này thì mệnh đề hình học cũng bị hiểu sai hoặc trở nên vô nghĩa. Ông viết: “Chừng nào mà tôi hiểu những từ như “đường thẳng”, “song song”, “giao điểm” như tôi vẫn hiểu, thì chừng ấy tôi không thể không chấp nhận tiên đề đường song song. Nếu ai đó không chấp nhận nó, tôi chỉ có thể cho rằng người ấy hiểu những từ ngữ này không giống tôi. Ý nghĩa của những từ ngữ đó gắn chặt với tiên đề đường song song”⁽¹⁴⁾. Điều đó có nghĩa là Hilbert hoàn toàn sai khi không đếm xỉa đến ý nghĩa thực tế của các đối tượng hình học như điểm, đường, mặt.

      Trong thực tế, mâu thuẫn quan điểm hình học giữa Frege và Hilbert đã bùng nổ thành một cuộc tranh cãi không thể thoả hiệp, như Reuben Hersh đã kể lại như sau:

      Quan điểm theo trường phái Kant của Frege về hình học đã dẫn ông tới chỗ tấn công Hilbert. Ông nói với Hilbert rằng Hilbert không biết phân biệt một định nghĩa với một tiên đề. Hilbert đã trả lời thư đầu tiên của Frege hoặc hai thư. Sau đó Hilbert lờ đi. Nhưng Frege tiếp tục lớn tiếng. Thậm chí ông nói xa nói gần rằng Hilbert không dám tiếp tục tranh cãi nữa vì sợ những kết quả của mình có thể sai!⁽¹⁵⁾ 
 

      5] Kết: 
 

      Henri Poincaré, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại, ngay từ đầu đã quyết liệt chống đối chủ nghĩa logic hình thức. Khi Nghịch Lý Russell ra đời, ông không cần che giấu sự thoả mãn khi công khai bình luận ý nghĩa tích cực của nghịch lý này với một giọng đầy giễu cợt đối với chủ nghĩa logic hình thức: “Chủ nghĩa logic cuối cùng cũng đã chứng minh được rằng nó không hoàn toàn vô ích. Phút chót nó cũng đã sinh đẻ được, nhưng lại đẻ ra một nghịch lý”⁽¹⁶⁾. 
 

Henri Poincaré: 

“Nhà toán học thuần tuý giống như một hoạ sĩ biết cách kết hợp hài hoà mầu sắc nhưng lại bị tước đi vật mẫu!”. 
 

      Có lẽ Frege cũng nghĩ như vậy nên mới đi đến chỗ sám hối và “lột xác” 100% trong những năm cuối đời. Sự sám hối của ông là bài học vô giá, giúp chúng ta nhận ra rằng:

      · Nghịch lý Russell đã huỷ hoại lý thuyết tập hợp. Nếu nó chưa đủ sức khai tử Chương Trình Hilbert như 29 năm sau Định Lý Bất Toàn của Godel sẽ làm, thì ít nhất nó cũng đã cho thấy lý thuyết tập hợp thực ra cũng chẳng phải “lý tưởng”, “chính xác”, và “tuyệt đối” như người ta đã kỳ vọng quá nhiều vào nó – kỳ vọng đến nỗi coi nó là nền tảng của toán học, muốn dùng nó làm cơ sở để diễn đạt toàn bộ toán học, và thậm chí, ra sức nhồi nhét ngôn ngữ tập hợp vào đầu học sinh phổ thông.

      Thiết tưởng lời giễu cợt của Poincaré nói trên và sự sám hối của Frege cũng đã quá đủ để cho những ai có những kỳ vọng đó phải hồi tâm suy nghĩ lại. Nếu uy tín của Poincaré và Frege chưa đủ để “lay chuyển” sức ỳ của những bộ não sính hình thức chủ nghĩa thì xin cung cấp thêm một nhận định của Bách Khoa Toàn Thư Triết Học Stanford (Stanford Encyclopedia of Phylosophy) của Đại Học Stanford ở Mỹ như sau:

      Ý nghĩa của Nghịch Lý Russell có thể cảm nhận được rõ ràng một khi hiểu ra rằng dựa trên logic cổ điển, mọi mệnh đề đều dẫn tới mâu thuẫn. Do đó trong con mắt của nhiều người, dường như không có một chứng minh toán học nào đáng tin cậy, một khi logic và lý thuyết tập hợp vốn là nền tảng của toán học lại là mâu thuẫn⁽¹⁷⁾.

      Điều này có nghĩa là gì? Có nghĩa là toán học cũng chỉ chính xác đến một mức độ tương đối nào đó mà thôi, thay vì có thể đạt tới sự chính xác tuyệt đối như nhiều người vẫn tưởng. Sự đề cao thái quá ngôn ngữ logic và tập hợp như “cây đũa thần” của toán học chỉ để lộ ra sự thiếu hiểu biết về bản chất của toán học! Nếu bài học của Frege vẫn chưa đủ để nhắc nhở những người mắc bệnh sính hình thức trong giáo dục cần xem xét lại phương pháp giảng dạy của mình thì có lẽ nên nói thêm về Định Lý Bất Toàn của Kurt Godel, Sự Cố Dừng của Alan Turing, Số Omega của Gregory Chaitin. Nhưng xin dành những chuyện đó cho bài kỳ sau.  
 

                                                                Sydney ngày 21 tháng 04 năm 2009 
 

                                                                             Phạm Việt Hưng

      Ghi Chú: 
 

(1) “Die Grundlagen der Arithmetik”, Gottlob Frege, Tập I ra mắt năm 1884, Tập II ra mắt vào năm 1902, ngay sau khi Frege được biết Nghịch Lý Russell.

(2) (3) (4) (7) “What is Mathematics, Really?”, Reuben Hersh, Vintage, London, 1998, Trang 151.

(5) “Pour la SCIENCE, Les Génies de la Science, Henri Poincaré, Phylosophe et Mathématicien”, T.21

(6) “Die Grundlagen der Geometrie”, David Hilbert, xuất bản lần đầu năm 1899, tái bản và sửa chữa rất nhiều lần. Để hiểu thêm tài liệu này, xin đọc thêm “Hệ tiên đề Hilbert có hoàn hảo?” của Phạm Việt Hưng, Tia Sáng Tháng 08-2002.

(8) (9) (10) “Engines of Logic, Mathematicians & the Origin of the Computer", Martin Davis, WW Norton & Company, New York, London 2000, T.41

(11) Tài liệu ghi chú (8) T.43

(12) (15) Tài liệu ghi chú (2) T.150

(13) (14) “Frege and Hilbert on the Foundations of Geometry”, Susan G. Sterrett

(16) Tài liệu ghi chú (2) T.200

(17) Stanford Encyclopedia of Philosophy, Russell’s Paradoxe

              http://stanford.library.usyd.edu.au/archives/sum1999/entries/russell-paradox/