“Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine”⁽¹⁾

Kurt Gödel (1906 – 1978) N Như mọi người đã biết, tạp chí TIME bình chọn Kurt Gödel, tác giả Định Lý Bất Toàn (Theorem of Incompleteness), là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20. Điều ấy không cần bàn cãi. Nhưng nếu hỏi ai là nhà toán học có ảnh hưởng lớn nhất trong thế kỷ 20, thì câu trả lời phải là David Hilbert.

      Ảnh hưởng ấy trước hết được tạo ra bởi những cống hiến vĩ đại của Hilbert cho toán học, đó là điều không ai có thể chối cãi. Lịch sử toán học xếp ông ngang tầm với nhà toán học vĩ đại cùng thời là Henri Poincaré – người được mệnh danh là “Mozart của toán học”.

      Hilbert và Poincaré đều là những thiên tài trong việc đối đầu với những bài toán hóc búa nhất và khả năng khai phá những mảnh đất mới của toán học. Nhưng hai thiên tài này có hai điểm khác nhau đến mức đối chọi:

      ● Trong khi Poincaré không tạo ra một trường phái riêng thì Hilbert lại tạo ra cả một trường phái hùng hậu – trường phái Logic hình thức. Vì thế ảnh hưởng của Hilbert rất lớn, bao gồm cả ảnh hưởng tích cực lẫn tiêu cực.

      ● Sự đối lập lớn nhất giữa Poincaré và Hilbert là quan điểm triết học toán học, tức nhận thức về bản chất của toán học: Trong khi Poincaré thấy rõ toán học phải gắn chặt với thế giới hiện thực thì Hilbert lại cho rằng toán học thực chất chỉ là một hệ thống Logic hình thức thuần tuý, một sản phẩm tư duy suy diễn hoàn toàn độc lập với thế giới hiện thực.

      Lịch sử cuối cùng đã cho thấy Poincaré đúng và Hilbert sai: Định Lý Gödel đã chứng minh rằng Chương trình Hilbert là ảo tưởng, và ảo tưởng đó xuất phát từ nhận thức sai về bản chất của toán học.

      Một dịp khác, chúng ta sẽ bàn kỹ chủ đề “Toán Học thực chất là gì?”, nhưng ngay bây giờ, cần thấy rõ rằng vì ảnh hưởng của Hilbert quá lớn, do đó sai lầm của Hilbert đã làm cho nhiều môn đệ của ông trong lĩnh vực giáo dục trở nên lú lẫn đến mức bất chấp Định Lý Gödel, tiếp tục tôn sùng Logic hình thức một cách vô lối bằng cách ra sức nhồi nhét Logic và tập hợp vào chương trình toán phổ thông. Bằng chứng rõ nhất là trào lưu “Toán Học Mới” ở phương Tây những năm 1960, và mặc dù trào lưu này đã thất bại thảm hại, nhưng “cái đuôi” của nó vẫn còn “ngọ nguậy” trong nền giáo dục của chúng ta hôm nay, tạo nên vấn nạn “dạy giả + học giả” tràn lan! Xét cho cùng, vấn nạn này bắt nguồn từ sự thiếu hiểu biết về lịch sử toán học. Sự thiếu hiểu biết ấy dẫn tới tư tưởng sùng bái Hilbert như một “ông thánh không thể sai lầm”.

      Nhưng than ôi, chính sự sùng bái đó đã vô tình tước đoạt của Hilbert một vinh quang mà ông có quyền được hưởng:

      Chương trình Hilbert tuy thất bại, nhưng đó là “một thất bại vinh quang!” (a glorious failure!), như nhận định của Gregory Chaitin, một trong những nhà khoa học computer nổi tiếng nhất thế giới hiện nay, trong bài giảng hùng hồn nhan đề “A Century of Controversy Over The Foundations of Mathematics” (Một thế kỷ tranh cãi về nền tảng toán học), trình bầy tại Đại Học Carnegie Mellon ở Pennsylvania, Mỹ, ngày 02-03-2000.

      Tại sao Chaitin nói như vậy?

      Vì chính những bài toán thách thức của Hilbert đã châm ngòi cho sự ra đời của Định Lý Gödel và Khoa Học Computer (Computer Science) – những “quả trứng vàng” của khoa học và công nghệ, đã và đang làm thay đổi tận gốc bộ mặt của xã hội hiện đai. Nói cách khác, “thất bại vinh quang” của Hilbert lại trở thành một tác nhân kích thích “Con gà mái toán học” đẻ ra những “quả trứng vàng”!

      Vậy từ lâu đã tồn tại một nghịch lý ít ai để ý: Trong khi khoa học và công nghệ tiến lên như vũ bão nhờ sự ra đời của khoa học computer thì giáo dục toán học lại thụt lùi vì đã làm một công việc phản sư phạm – nhồi nhét Logic và tập hợp một cách tuỳ tiện vào chương trình phổ thông!

      Cả hai chiều của nghịch lý đó, xét cho cùng, đều bắt nguồn từ những bài toán thách thức của Hilbert, mà điểm tập trung cao nhất là “Bài Toán Quyết Định”. 
 

      1] “Bài Toán Quyết Định”: 
 

      Lịch sử toán học đã từng chứng kiến những cuộc khủng hoảng về nhận thức cuối cùng lại đẻ ra những “quả trứng vàng”!

      Một trong những thí dụ tiêu biểu nhất là Lịch sử xét lại Tiên đề 5 của Euclid (Tiền đề đường song song). Nghi vấn “Tiên đề 5 không phải là một tiên đề” đã từng làm hao tâm tổn trí của không biết bao nhiêu thế hệ các nhà toán học xuất sắc nhất trong suốt hơn 2000 năm, để mãi cho tới thế kỷ 19 mới có kết luận rõ ràng: Euclid không hề sai, Tiên đề 5 quả thật là một tiên đề, và quá trình “xét lại Tiên đề 5” đã đẻ ra một “quả trứng vàng”: Hình Học Phi-Euclid – một trong những thành tựu vĩ đại nhất trong lịch sử nhận thức của loài người!

      Tương tự như vậy, cuộc khủng hoảng nghịch lý trong toán học cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20 đã dẫn tới sự ra đời của Chương Trình Hilbert – một chương trình đòi xét lại toàn bộ nền tảng của toán học, nhằm xây dựng một hệ thống toán học mới tuyệt đối phi mâu thuẫn. Tham vọng này lộ rõ qua Bài Toán Số 2 của Hilbert, nêu lên tại Hội nghị toán học thế giới năm 1900 tại Paris: “Tìm một hệ tiên đề đầy đủ và phi mâu thuẫn cho Số Học”. Năm 1928, tại Hội nghị toán học thế giới ở Bologna, Italia, Hilbert nhắc lại bài toán này dưới dạng mở rộng cho toàn bộ toán học, thông qua 3 câu hỏi thách thức:

      ● Một, toán học có đầy đủ (complete) không?

      ● Hai, toán học có đảm bảo phi mâu thuẫn (consistent) không?

      ● Ba, toán học có thể quyết định được (decidable) không? Nghĩa là có tồn tại một phương pháp xác định nào cho phép khẳng định rứt khoát bất kỳ một mệnh đề hoặc một lý thuyết toán học nào là đúng hay sai không? Câu hỏi này xuất phát từ nhận thức căn bản cho rằng toán học phải là một khoa học tuyệt đối logic, xác định, minh bạch, chính xác – bất kỳ một mệnh đề toán học nào cũng chỉ có thể là trắng hay đen, không tồn tại những mệnh đề “ignorabimus”, tức mệnh đề “không thể biết” (unknowable) hoặc không thể quyết định được (undecidable). Bài toán thứ ba này đã đi vào lịch sử với tên gọi “Bài Toán Quyết Định” (Decision Problem, nguyên văn tiếng Đức là Entscheidungsproblem).

      Trong khi Hilbert tin tưởng chắc nịch rằng “Chúng ta phải biết; Chúng ta sẽ biết”, có nghĩa là mọi bài toán của toán học đều phải quyết định được (decidable) thì năm 1931, Định Lý Gödel đã trả lời: “Trong toán học tồn tại những mệnh đề không quyết định được!”. Đó là một “cú death-blow” – một đòn trời giáng – đối với Hilbert. Lịch sử chép rằng khi nghe tin này Hilbert đã đùng đùng nổi giận. Nhưng logic chứng minh của Gödel chặt chẽ đến nỗi Hilbert không thể đưa ra bất kỳ một phản bác nào. Ông đã có hẳn một “giáp”, tức 12 năm, để suy ngẫm về định lý này (vì mãi tới năm 1943 ông mới mất), nhưng dường như ông chỉ chọn thái độ im lặng, thay vì dũng cảm phủ nhận chính mình!

      Thậm chí, theo cuốn “Dictionary of Scientific Biography” (Từ Điển Tiểu Sử Khoa Học), “Khoảng cuối năm 1934, trên một văn bản ấn loát, Hilbert không chịu thừa nhận rằng Định Lý Bất Toàn đã bác bỏ chương trình của ông”⁽²⁾. Nói đơn giản: Ông không chịu thừa nhận ông đã sai!

      Thái độ ấy gây thiệt thòi rất lớn cho khoa học và giáo dục, bởi vì với uy tín bao trùm thế giới toán học, nếu Hilbert thừa nhận sai lầm của Chủ Nghĩa Hình Thức thì chắc chắn hậu thế sẽ chẳng còn ai tôn sùng chủ nghĩa này nữa, và chắc chắn hệ thống giáo dục phương Tây những năm 1960 sẽ không rơi vào thảm hoạ “toán học mới” – một thảm hoạ bắt nguồn từ việc ra sức nhồi nhét logic và tập hợp (tư tưởng cơ bản của Chủ Nghĩa Hình Thức) vào đầu học sinh phổ thông. Khi đó, chắc chắn cũng sẽ chẳng còn có nhà nhà giáo dục Việt Nam nào muốn bắt chước lối giáo dục nhồi nhét hình thức đó nữa, và do đó sẽ không có hiện tượng “dạy giả + học giả” như hiện nay!

      Nhưng may mắn thay, trong khi các nhà giáo dục tiếp tục tôn sùng một chủ nghĩa đã bị khai tử về mặt triết học, thì một số nhà toán học nhìn xa trông rộng lại nhận ra chỗ đứng thật sự của Logic hình thức nằm ở đâu:

      Chỗ  đứng thật sự của  Logic hình thức không phải ở giáo dục, mà ở Khoa Học Tính Toán (computing science) – đối tượng áp dụng của Logic hình thức không phải là con người mà là computer!

      Chính vì thế, Greg Chaitin đã gọi Khoa Học Computer là “phó-phẩm” (by-products), hoặc sản phẩm phụ, hoặc những “sản phẩm bất ngờ không dự kiến trước” (unexpected products) mà Chương trình Hilbert đã dâng tặng cho chúng ta ngoài ý muốn của chính nó!

      Vậy đã đến lúc cần chấm dứt việc nhồi nhét Logic hình thức vào giáo dục phổ thông! Kiểu nhồi nhét ấy lỗi thời rồi! Hãy trả Logic hình thức về đúng chỗ của nó: Khoa Học Computer! Người đi tiên phong trong sự chuyển hướng này là John Von Newmann, một trong những cha đẻ của khoa học computer hiện đại.  
 

      2] Cuộc đoạn tuyệt của Newmann với Chương trình Hilbert: 

      Trong cuốn “Engines of Logic” (Những động cơ của Logic), nhà khoa học computer nổi tiếng Martin Davis cho biết⁽³⁾: “Năm 1930, trong Hội nghị chuyên đề tại Königsberg⁽⁴⁾ bàn về nền tảng toán học, Newmann được giao trách nhiệm giải thích Chương trình Hilbert. Nhưng cũng chính tại hội nghị này, Kurt Gödel lần đầu tiên tung ra “quả bom tấn”, chứng minh rằng hệ thống logic hình thức không bao giờ đầy đủ để có thể chứng minh được mọi mệnh đề của toán học. Dường như ngay lập tức, Newmann là người đầu tiên hiểu thấu ý nghĩa công trình của Gödel …”.

      Trong một đoạn sau, Davis nói rõ hơn:

      “Newmann đã có những cống hiến đáng kể trong nỗ lực chứng minh tính phi mâu thuẫn của số học, và khi xuất hiện tại Hội nghị chuyên đề ở Königsberg, ông vẫn tiếp tục đóng vai trò người biện hộ cho Chương trình Hilbert. Nhưng ngay khi nhận thấy những ẩn ý sâu xa trong công trình của Gödel, ông chỉ càng thấy rõ thêm rằng Gödel đã đi trước ông một bước trong việc khẳng định rằng tính phi mâu thuẫn (của toán học) là không thể chứng minh được. Thế là đủ. Mặc dù vô cùng ngưỡng mộ Gödel, thậm chí đã lấy công trình của Gödel làm bài giảng, Newmann đã thề rằng không bao giờ còn có gì để làm với Logic nữa. Nghe nói, ông đã kiêu hãnh tuyên bố rằng sau Gödel, ông sẽ không bao giờ đọc thêm bất cứ một công trình nào về Logic nữa. Logic đã làm bẽ mặt ông, và Von Newmann không phải là người được sử dụng để bị làm nhục. Nhưng dù đã như vậy, cuối cùng ông đã không thể giữ được lời thề: Nhu cầu xây dựng những chiếc máy tính hùng mạnh đã buộc ông phải quay lại với Logic”.

      Câu chuyện trên nói với chúng ta điều gì? Câu hỏi này sẽ được trả lời kỹ trong phần kết, nhưng ngay bây giờ có thể có kết luận sơ bộ:

      ● Hilbert và Chủ Nghĩa Hình Thức hoàn toàn sai khi cho rằng bản chất của toán học là Logic thuần tuý (nếu không, Newmann đã chẳng đoạn tuyệt). Logic hình thức xét cho cùng cũng chỉ là một thứ ngôn ngữ, và giống như mọi ngôn ngữ khác, nó cũng bất toàn! Nó không hề giúp con người hiểu toán học đúng hơn và chính xác hơn. Việc suy tôn Logic hình thức (logic và tập hơp) như một thứ “ngôn ngữ thần thánh” của toán học chỉ chứng tỏ sự ấu trĩ trong nhận thức về bản chất của toán học! Sự ấu trĩ này biểu lộ rất rõ trong lối dạy toán ở trường phổ thông hiện nay.

      ● Tuy nhiên, nhờ bản chất “lạnh lùng”, “vô cảm”, “không bóng bẩy đa nghĩa” của các từ ngữ ký hiệu mà Logic hình thức sử dụng, nó lại rất hữu dụng để ra lệnh và dạy bảo máy móc làm việc theo ý muốn của con người! Nói ngắn gọn, Logic hình thức là ngôn ngữ của computer. Chính vì thế, lúc Newmann đoạn tuyệt với lý tưởng của Hilbert cũng là lúc ông hiến dâng hết mình cho một sự nghiệp hoàn toàn mới – Khoa Học Computer! 
 

      3] Cống hiến của Newmann cho Khoa Học Computer: 

      “Computer” là một thuật ngữ hiện đại dùng để gọi những chiếc máy tính hoạt động theo chương trình. Ngay từ thế kỷ 17, nhà toán học vĩ đại Gottfried Leibniz đã từng mơ ước chế tạo ra những chiếc máy như thế. Nhưng phải đợi tới nửa đầu thế kỷ 20, “Giấc mơ Leibniz” (Leibniz’s Dream) mới có cơ may để biến thành hiện thực.

      Mô hình đầu tiên của loại máy này là “Máy Turing” (Turing’s Machine) do Alan Turing phác thảo sơ bộ vào năm 1936. Tuy đó chỉ là một chiếc máy tưởng tượng, một hình đồ hoạ rất sơ lược trên giấy mô tả những thành phần chủ yếu cần phải có của một chiếc máy tính hoạt động theo chương trình, nhưng về cơ bản, đó chính là phác thảo đầu tiên của những chiếc máy mà ngày nay ta gọi là “computer”.

      Dựa trên mô hình của Turing, John von Newmann đã biến “Giấc mơ Leibniz” thành hiện thực. Đó là lược sử tối giản về sự ra đời của computer mà bất kỳ ai sống trong thời đại computer cũng nên biết.

      Ngày nay computer có thể làm được quá nhiều việc thần kỳ, nhưng dù thần kỳ đến mấy, xét cho cùng nó vẫn chỉ là một “tên nô lệ” dốt nát nhưng trung thành, một “tên đầy tớ” không hề biết rung cảm nhưng rất ngoan ngoãn, răm rắp tuân lệnh chủ. Vì thế nó rất cần ông chủ ra lệnh và dạy bảo nó bằng một thứ ngôn ngữ máy móc, “chỉ đâu đánh đấy”, để nó làm việc hoàn toàn theo mệnh lệnh, theo chương trình định sẵn. Ngôn ngữ ấy chính là Logic hình thức. John von Newmann là một trong những người đầu tiên nhận thấy điều đó.

      Nhà toán học Herman Goldstine nhận định: “Von Newmann là người đầu tiên, theo như tôi biết, hiểu rõ rằng computer chủ yếu là chiếc máy thực hiện các chức năng logic, còn khía cạnh về điện chỉ mang ý nghĩa phụ”⁽⁵⁾.

      Năm 1944, chính Goldstine là người đã kéo Newmann vào Dự án chế tạo chiếc máy tính điện tử hùng mạnh đầu tiên mang tên ENIAC của Đại Học Công Nghệ Điện Moore ở Philadelphia, Mỹ. Rồi sau đó chuyển sang dự án chế tạo chiếc máy mang tên EDVAC.

      Tháng 06-1945, trong một báo cáo nổi tiếng mang tên “First Draft of a Report on the EDVAC” (Phác thảo đầu tiên của Báo cáo về EDVAC), Newmann lần đầu tiên đã nêu lên ý tưởng chế tạo EDVAC dựa trên mô hình “Máy Turing”. Theo mô hình này, EDVAC phải có một bộ phận lưu trữ thông tin mà Newmann gọi là “Bộ Nhớ” (Memory), dùng để lưu trữ cả dữ liệu lẫn các lệnh đã mã hoá. Khái niệm “bộ nhớ” ra đời từ đó!

      Nếu ENIAC được thiết kế để tính toán theo hệ thập phân thì EDVAC là chiếc máy đầu tiên được thiết kế để tính toán theo hệ nhị phân (binary).

      EDVAC cũng có một bộ phận thực hiện việc điều khiển logic bằng cách chuyển lần lượt từng lệnh cần thực hiện từ bộ nhớ vào bộ xử lý.

      Những ý tưởng thiết kế này đều xuất phát từ chính John von Newmann – người được coi là kiến trúc sư trưởng của EDVAC!

      Computer hiện đại ngày nay dù phức tạp gấp bội so với EDVAC, nhưng nguyên lý căn bản vẫn không thay đổi. Vì thế sẽ chẳng có gì ngoa ngoắt nếu coi John von Newmann là một ông tổ của khoa học computer!

      Để kiểm tra khả năng ứng dụng của EDVAC, chính Newmann đã viết một chương trình đầu tiên vô cùng quan trọng, và chương trình của ông đã thành công. Goldstine nhận định: “Dựa trên những bằng chứng có giá trị hiện nay, đã có thể kết luận một cách hợp lý rằng EDVAC đã rất gần với một chiếc máy vạn năng, và những nguyên lý hiện nay dùng để điều khiển logic là rất đúng đắn”.

      Vậy nếu phải liệt kê danh sách những người có công lớn nhất trong việc xây dựng nên khoa học computer hiện đại, thì Alan Turing và John von Newmann chắc chắn phải là hai nhân vật nằm ở ngay hàng đầu, đúng như nhận định của tạp chí TIME số ra ngày 29-03-1999:

      ● “Có rất nhiều ý tưởng và tiến bộ công nghệ cùng hội tụ lại để sáng tạo nên computer ngày nay, vì thế thật là liều lĩnh để gán cho một người duy nhất nào đó bản quyền phát minh ra nó. Nhưng khi mỗi chúng ta gõ bàn phím để mở một trang mạng hay một chương trình xử lý từ ngữ (word-processing program), thì thực tế là ta đang làm việc trên một chiếc máy hiện thân của Máy Turing”.

      ● “Hầu như tất cả mọi computers ngày nay, kể từ những siêu-computers trị giá 10 triệu USD cho tới những con chíp nhỏ xíu dùng cho điện thoại di động hoặc đồ chơi điện tử, đều có một điểm chung: Tất cả đều là những chiếc “Máy von Newmann” – những biến thể dựa trên cấu trúc căn bản của những computer mà John von Newmann đã chế tạo trong những năm 1940 theo mô hình của Alan Turing”. 
 

      Nhưng cả Turing và Newmann đều có ý nghĩ cho rằng bộ não của con người về cơ bản cũng hoạt động tương tự như một computer.

      Có thật là computer có thể tư duy như bộ não không?

      Đây là một câu hỏi rất lớn, gây nên tranh cãi trong nhiều năm nay, cần có nhiều bài báo dành riêng cho nó. Nhưng hôm nay chúng ta hãy thử nhìn nhận vấn đề dưới góc độ nhận thức luận để từ đó soi sáng cho một loạt dấu hỏi lớn về giáo dục: Tại sao đến nay các nhà giáo dục vẫn ra sức nhồi nhét Logic và tập hợp vào chương trình toán phổ thông? Mục đích của họ là gì? Phải chăng họ bất chấp Định Lý Gödel, do đó tưởng rằng Logic và tập hợp là chìa khoá của toán học, giúp cho trẻ em giỏi toán hơn, hiểu toán chính xác hơn? Hay phải chăng họ không hiểu gì ý nghĩa và vai trò của Logic hình thức, để vô tình biến trẻ em thành computers?

      Để tìm kiếm câu trả lời, một lần nữa xin độc giả chú ý tới nhận định bất hủ của Kurt Gödel về nhận thức của con người.  
 

      4] Con người và computer dưới con mắt của Kurt Gödel: 
 

      Trong cuốn “The Engines of Logic” (đã dẫn), Martin Davis viết: “Năm 1950, Alan Turing công bố công trình kinh điển của ông, “Computing Machinery and Intelligence” (Máy tính và trí thông minh), trong đó ông dự đoán cuối thế kỷ (20) sẽ có những chương trình computer có thể thực sự nói chuyện trôi chảy (với con người) đến nỗi người ta không thể biết là người ta đang nói chuyện với một chiếc máy hay với một người nào khác”⁽⁶⁾.

      Davis còn cho biết: “Giống như Turing, von Newmann phỏng đoán rằng bộ não của con người có một số khả năng đặc biệt là vì nó có sức mạnh của một chiếc computer vạn năng”⁽⁷⁾.

      Nhưng Alan Turing mới thật sư được coi là cha đẻ của của khoa học về AI (Artificial Intelligence), tức khoa học về “Trí Thông Minh Nhân Tạo”. Mục tiêu của khoa học này là chế tạo ra những computers thông minh như con người. Ý tưởng ấy dựa trên một tiên đề cho rằng bộ não thực chất là một siêu-computer! Tạp chí TIME ngày 29-03-1999 viết: “Đối với trường phái trí thông minh nhân tạo, Turing vẫn là một anh hùng, một phần vì quan điểm lạc quan của ông về một tương lai mầu hồng. Trong tương lai ấy, các quý bà có thể sẽ mang các computers theo họ để cùng dạo chơi trong công viên và chuyện trò với chúng”. Đối với Turing, vấn đề máy móc có thể suy nghĩ như con người là điều hiển nhiên, không cần bàn cãi: “Tôi tin rằng thật vô nghĩa khi mang câu hỏi “Máy móc có thể tư duy được hay không?” ra để bàn luận”, Turing đã viết như vậy trong cuốn “Mind” (Ý nghĩ), năm 1950.

      Vậy phải chăng Turing đúng? Và do đó cần dạy bảo học sinh giống như “dạy bảo” computers?

      Nếu ai đó còn phân vân để tìm câu trả lời, xin đọc lại ý kiến của Kurt Gödel, mà bài báo “Mr Why và Định Lý Bất Toàn” trên Khoa Học & Tổ Quốc tháng 06-2009 đã trích dẫn: “Thế giới chứng minh quá nhỏ so với thế giới chân lý có thể nhận thức được, nhưng thế giới chân lý nhận thức được lại quá nhỏ so với thế giới hiện thực”.

      Tư tưởng này đã được Gödel nhắc đi nhắc lại nhiều lần dưới nhiều hình thức khác nhau. Có lần ông trình bầy dưới dạng sau đây: “Toán học quá rộng đối với nhận thức của con người, mà nhận thức của con người lại quá rộng đối với một chiếc máy” (Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine)⁽⁸⁾.

      Đó là một tuyên ngôn bất hủ của Gödel đã được lấy để làm đề từ cho bài viết này, như một điểm tựa về triết học nhận thức để khẳng định những quan điểm sau đây: 
 

      4a) So sánh nhận thức của con người với computer:

      ● Nhận thức của con người và “tư duy” của computer là hai dạng tư duy hoàn toàn khác nhau. Phạm vi nhận thức của con người rộng lớn hơn rất nhiều so với “tư duy” của computer. Nếu quả thật bộ não của con người hoạt động tương tự như computer, thì kiểu hoạt động đó chỉ là một phần rất nhỏ trong toàn bộ các hình thức hoạt động của bộ não mà thôi. 
 

      ● Computer dù vĩ đại đến mấy, cũng chỉ có thể hoạt động dựa trên một số hữu hạn các tiên đề, do đó khả năng “tư duy” của nó cũng bị giới hạn trong một phạm vi hữu hạn những chân lý logic suy ra từ hệ tiên đề đó. Trong khi con người, ngoài khả năng khám phá chân lý bằng con đường logic, còn có khả năng khám phá ra những “chân lý bất chợt” bằng con đường cảm thụ trực giác, không tuân theo logic. Những nhà tâm lý học biết rõ điều này hơn ai hết, và những thống kê về tâm lý cho thấy phần lớn tư duy của con người không rập khuôn theo logic máy móc, mà bằng cảm thụ trực giác. Trực giác mới thật sự là điểm mạnh và chỗ hơn hẳn của con người so với computer. Computer rất hữu ích, vì nó làm nô lệ để con người sai khiến, nó giúp con người giải phóng bản thân mình khỏi những tư duy máy móc nhàm chán – những tư duy logic hình thức vô cảm vô hồn – để dành thì giờ cho những tư duy tưởng tượng và sáng tạo nhiều hơn! 
 

      4b) Vai trò của Logic hình thức:

      ● Ngôn ngữ Logic hình thức vô cùng hữu dụng đối với computer nhưng rất phản sư phạm khi nhồi nhét vào đầu trẻ em, vì vô tình đã thu hẹp tư duy của con người thành tư duy máy móc, tầm thường hoá con người thành những robots.

      ● Việc nhồi nhét Logic và tập hợp vào đầu học sinh phổ thông không hề giúp ích cho học sinh hiểu toán học đúng hơn và chính xác hơn. Hệ thống giáo dục đã phạm sai lầm lớn khi ra sức nhồi nhét Logic hình thức vào trẻ em, làm thui chột tư duy tưởng tượng và sáng tạo.

      ● Logic hình thức chỉ cần thiết cho những ai đi vào chuyên ngành toán lý thuyết hoặc khoa học computer. Đừng bắt mọi người phải học những điều họ không cần thiết. Ngay cả những nhà vật lý cũng không cần những kiến thức đó chứ đừng nói tới rất nhiều lĩnh vực tri thức khác. Xin các nhà giáo dục hãy lắng nghe tiếng kêu khẩn thiết của Lev Landau, nhà vật lý lý thuyết số 1 của Liên Xô cũ, từng đoạt Giải Nobel vật lý năm 1962: “Các nhà toán học, mà tôi không hiểu vì lý do gì, đã nhồi nhét cho chúng tôi những bài tập logic coi như một món hàng bắt buộc”. Một người tài ba như Landau mà còn chán ngấy với cái món Logic vô bổ đối với ông, nữa là hàng triệu học sinh phổ thông ở Việt Nam? 
 

      4c) Sai lầm của các nhà giáo dục:

      ● Không thể đổ lỗi cho Hilbert trong việc nhồi nhét Logic và tập hợp vào đầu học sinh phổ thông hiện nay. Đó là lỗi của các nhà giáo dục hậu thế, những người sùng bái Hilbert một cách vô lối. Xét cho cùng, những nhà giáo dục này dường như chẳng hiểu gì về lịch sử toán học, chẳng hiểu gì về ý nghĩa của Định Lý Gödel.

      ● Hoá ra Logic hình thức chẳng thiêng liêng như người ta tưởng! Toán học không phải là Logic hình thức. Việc đồng nhất toán học với Logic hình thức là một sai lầm ấu trĩ về nhận thức bản chất của toán học. Sự ấu trĩ này thể hiện rất rõ trong lối dạy toán ở trường phổ thông hiện nay. Chẳng hạn người ta cấm trẻ em trình bầy phép toán 2 kg + 3kg = 5 kg, mà chỉ được viết đơn giản là 2 + 3 = 5 (!). Những ai hiểu rõ chủ nghĩa hình thức thì sẽ thấy rõ đây là một biểu hiện điển hình của chủ nghĩa hình thức mà Hilbert, Frege, Russell chủ trương. Chủ nghĩa ấy không những đã lỗi thời, mà còn bị chứng minh là SAI! Vậy mà vẫn có những nhà giáo dục ngày nay coi đó là “toán học chân chính” (!!!). Thực tế cũng đã chứng minh lối dạy học này là phản sư phạm, nên người ta lại biến tấu, bịa ra một lối trình bầy “nửa dơi nửa chuột” như sau: 2 + 3 = 5 (kg). Ở các lớp trên, người ta sính hình thức đến nỗi ra sức áp đặt cách diễn đạt toàn học bằng ngôn ngữ logic và tập hợp, biến những khái niệm rất đơn giản thành phức tạp, đến nỗi nhiều bậc cha mẹ có trình độ cao cũng không hiểu, và do đó không giúp đỡ được con cái trong học tập. Đây chính là căn bệnh “dạy giả” mà hậu quả tất yếu của nó là “học giả”. Chúng ta sẽ trở lại bàn kỹ vấn đề này trong một bài báo khác. 
 

      5] Kết: 
 

      “Công trình của Gödel đã để lộ ra khả năng to lớn trong việc xác định cái gì có thể làm được và cái gì không thể”! Đó là ý kiến của Oswal Veblen, Giáo sư Viện Nghiên Cứu Cao Cấp Princeton⁽⁹⁾.

      Logic hình thức đem áp dụng vào máy móc để chế tạo ra những chiếc computer kỳ diệu như ta thấy, đó là việc có thể làm được!

      Logic hình thức (logic và tập hợp) đem nhồi nhét vào đầu học sinh phổ thông để làm cho học sinh giỏi toán hơn, hiểu toán chính xác hơn, đó là việc không thể làm được! Bởi vì:

      1-Học sinh không phải là những chiếc computers! Tư duy của học sinh là tư duy của con người, sinh động và phong phú gấp hàng triệu lần so với computers.

      2-Ngôn ngữ logic hình thức không phải là ngôn ngữ của con người. Đó là một thứ ngôn ngữ chết, nó bóp chết mọi tưởng tượng sinh động của học sinh, và do đó việc áp đặt ngôn ngữ này vào giáo dục là phản sư phạm!

      3-Logic hình thức không phải là bản thân toán học. Nó không hề giúp con người hiểu toán học đúng hơn và chính xác hơn. Sự thất bại của Chương trình Hilbert đã nói quá rõ sự thật này.

      4-Sự sùng bái và tôn thờ Logic hình thức như “ngôn ngữ chúa tể” của toán học chỉ chứng tỏ sự ấu trĩ về nhận thức đối với bản chất của toán học.

      Kết luận: Vậy đã đến lúc cần chấm dứt sự sùng bái vô lối đó, đặc biệt trong phạm vi giáo dục phổ thông!

                                                   Sydney ngày 26 tháng 08 năm 2009

                                                                   Phạm Việt Hưng 
 

      Ghi chú: 
 

      (1): Xem trang web “Quotations by Kurt Gödel”:

      http://strangewondrous.net/browse/author/g/godel+kurt

      (2): Xem “Dictionary of Scientific Biography”, Book 17, Supplement II, mục từ Gödel, do The American Council of Learned Societies xuất bản năm 1990.

      (3): Xem “Engines of Logic”, Martin Davis, Norton & Company, New York, London, 2000, trang 180.

      (4): Trước 1945, Königsberg là thủ đô của Đông Phổ, một thành phố cảng nằm bên bờ biển Baltic, ở giữa Ba-Lan và Lít-va. Từng là một trung tâm khoa học của Âu Châu, quê hương của nhiều nhà bác học vĩ đại như Leonard Euler, Immanuel Kant, David Hilbert, … Từ năm 1945, theo Hiệp ước Potsdam, trở thành một vùng đất thuộc Liên Xô (cũ), tức Nga ngày nay, nhưng về địa lý tách rời Nga. Từ 1946, được đổi tên thành Kaliningrad.

      (5): Xem tài liệu ghi chú (3), trang 191.

      (6): Xem tài liệu ghi chú (3), trang 202.

      (7): Xem tài liệu ghi chú (3), trang 183.

      (8): Xem ghi chú (1)

      (9): Xem TIME 29-03-1999 trang 90.