Ðịnh luật III Kepler

Võ Thị Diệu Hằng
 
 

Tóm tắt Thái Dương Hệ:

Tỷ số giữa bình phương chu kỳ quỹ đạo (chu kỳ quỹ đạo=thời gian để  quay quanh mặt trời một vòng) và tam thừa khoảng cách trung bình  giữa hành tinh tới mặt trời  là  không đổi, với bất cứ hành tinh nào.

Ta có thể dùng đơn vị thiên văn là UA (viết tắt  từ Unité Astronomique, 1 UA=150 triệu km) và  p bằng đơn vị năm (année) và K = hằng số.

Newton  chứng minh  rằng hằng số K = 4pG/(mp + ms)

G = hằng số hấp dẫn; mp và ms = khối lượng  hành tinh (planète) và mặt trời (soleil). Vì mp  quá nhỏ so với ms nên biểu thức  sẽ chỉ còn K =  4pG/ms nghĩa không tùy thuộc vào hành tinh

Ðịnh luật Kepler không kể đến những nhiễu loạn do các hành tinh khác gây ra cho cặp mặt trời-hành tinh

Ðịnh luật III Kepler cho phép tính khoảnng cách khi biết đưọc kằng số K và thời gian một hành tinh quay một vòng quanh mặt trời

Ðây là bảng mà Kepler ghi những quan sát của Tycho Brahé và  những phép tính

 

Cho những hành tinh trong thái dương hệ:
 

Hành tinh

a
nửa trục lớn
đơn vị 103 km
hay 106 m

T
chu kỳ tính bằng ngày

T
chu kỳ tính bằng 106 s

T2/a3
ngày2.km-3

T2/a3
 giây2.m-3
Mercure

57910

87,97

7,57984708

3,98482.10-11

2,95842.10-19
Vénus

108200

224,7

19,3610508

3,98588.10-11

2,95921.10-19
Terre

149600

365,26

31,47226264

3,98483.10-11

2,95843.10-19
Mars

227940

686,98

59,19294472

3,98498.10-11

2,95855.10-19
Jupiter

778330

4332,71

373,3236244

3,98133.10-11

2,95583.10-19


Bàng cho những vệ tinh của Jupiter do Galilée quan sát:

Vệ tinh

a
 nửa trục lớn
đơn vị 103 km
hay 106 m

T
 chu kỳ tính bằng ngày

T
 chu kỳ tính bằng 106 s

T2/a3
 ngày2.km-3

T2/a3
 giây2.m-3
Io

422

1,77

0,15251028

4,16878.10-8

3,095.10-16
Europe

671

3,55

0,3058822

4,17147.10-8

3,097.10-16
Ganymède

1070

7,15

0,6160726

4,17312.10-8

3,09822.10-16
Callisto

1883

16,69

1,43807716

4,17217.10-8

3,09751.10-16

Ta  nhận thấy rằng  T2/a3 là một hằng số, nhưng hằng số này tùy thuộc vào thiên thể hấp dẫn

Ta có

 T2/a3 = 4p ²/GM,  G lực hấp dẫn vạn vật : G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2

Từ kết quả bảng  trên ta có thể tính được khối lượng các thiên thể:

Thí dụ:

  •   Mặt trờil  :MS = 2,00.1030 kg
  •   Jupiter  :MJ = 1,91.1027 kg

Ðịnh luật Kepler áp dụng được cho các vệ tinh của hành tinh cũng như vệ tinh nhân tạo:

Ðịnh luật Kepler còn áp dụng cho các  vệ tinh của trái đất:

Vệ tinh

a
 nửa trục lớn
đơn vị 103 km
hay 106 m

T
chu kỳ tính

 

T
 chu kỳ tính bằng 106 s

T2/a3
tính bằng s2.m-3
Mặt trăng

384

27,32 ngày

2,35.106

9,78632.10-14
Hipparcos

24,546

10h 37min 57s

38277

9,9068.10-14
NOAA 15

7,19

1h 41min 09s

6069

9,90941.10-14
GPS BII-01

26,5625

11h 58min 08s

43088

9,90617.10-14
Globalstar MO48

7,79

1h 54min 4s

6844

9,90849.10-14

 

Dùng hằng số tìm ra cho vệ tinh nhân tạo, ta tính được  khối lượng trái đất là  MT = 5,97.1024 kg

Hằng số tính được cho mặt trăng  hơi sai biệt. Newton đã sửa  định luật thứ  ba Kepler, ông chứng minh rằng khối lượng tác động  là tổng số khối lượng của hai thiên thể khi chúng hấp dẫn nhau, ở đây là  trái đất và mặt trăng

Dùng cách sửa đổi của Newton, ta có:

Mtrái đất+mặt trăng = 6,05.1024 kg

 Mmặt trăng = 7,36.1022 kg.

Thật ra định luật III Kepler  cho kết quả gần đúng vì  chỉ cho trường hợp hành tinh với mặt trời. Ngay cả Jupiter là lớn nhất cũng chưa quá  1 phần ngàn  khối lượng mặt trời.

Ghi chú:

10h 02 min 30 s = 10 giờ 2 phút 30 giây

Những chữ viết tắt: T = Terre (trái đất), S = Soleil (mặt Trời), L = Lune (mặt Trăng), J = Jupiter..., G = Gravitation (hấp dẫn), m = masse (khối lượng)