Cơ học Lượng Tử 
Gs Dương Hiếu Đấu

    

  1. KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT    

    1. Bài toán mở đầu.            

    2. Các đại lượng đặc trưng.              

    3. Mở rộng cho hàm phân bố liên tục.        

  2. HÀM SÓNG                           

    1. Biểu thức.                     

    2. Ư nghĩa.                 

    3. Tính thống kê của hàm sóng.            

    4. Điều kiện chuẩn hóa.             

    5. Điều kiện của hàm sóng.         

    6. Quan hệ giữa sóng Broglie và hạt chuyển động

    7. Vận tốc pha, vận tốc nhóm.         

  3. TOÁN TỬ                

    1. Khái niệm về toán tử.                

    2. Hàm riêng và trị riêng của toán tử.       

    3. Các toán tử trong cơ học lượng tử.          

  4. PHƯƠNG TR̀NH SCHRODINGER                     

  5. HẠT TRONG HỐ THẾ SÂU VÔ HẠN             

  6. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ               

  7. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM              

BÀI TẬP

TRẮC NGHIỆM

 

I. KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT

            Cơ học lượng tử là môn học gắn liền với chuyển động của các hạt vi mô có vận tốc chuyển động gần với vận tốc ánh sáng. Đặc điểm của cơ học lượng tử, như tên của nó, nghiên cứu về tính chất lượng tử hóa của các đại lượng vật lư liên quan đến chuyển động vi mô. Quan điểm về xác suất được sử dụng rất nhiều trong cơ học lượng tử bởi v́ theo nguyên lư Heisenberg ta không thể xác định chính xác đồng thời vị trí và vận tốc của hạt vi mô, không xác định được quỹ đạo của hạt chuyển động. Thế nên trong phần đầu của chương, ta sẽ giới thiệu sơ bộ về lư thuyết xác suất.

            1.Bài toán mở đầu

Giả sử trong một pḥng họp có sự phân bố số người dự họp theo số tuổi như sau:

Có 1 người 14 tuổi. Biểu diễn ( N(14)=1       

Có 1 người 15 tuổi.                 ( N(15)=1

Có 3 người 16 tuổi.                 ( N(16)=3

Có 2 người 22 tuổi.                 ( N(22)=2

Có 2 người 24 tuổi.                 ( N(24)=2

Có 5 người 25 tuổi.                 ( N(25)=5

Tổng quát N(J) là hàm theo các biến nguyên biểu thị số người có cùng số tuổi là J.

Sự phân bố  được biểu diễn như đồ thị (H́nh 3.1) sau đây

 

             2. Các đại lượng đặc trưng

Khi nói đến bài toán phân bố ta xét đến khả năng chọn lựa một biến cố bất kỳ, ví dụ như bài toán trên là khả năng chọn ra một người có số tuổi là J nào đó. Muốn tính khả năng nầy ta phải biết:

                        

3.  Mở rộng cho hàm phân bố liên tục

            Giả sử bây giờ ta tính chính xác tuổi từng người theo ngày tháng năm và giờ sinh: Trong bài toán trên (J) sẽ là các biến số dương và liên tục, có thể viết là (x). Hàm phân bố số tuổi có thể viết lại là P(x) và đây là xác suất t́m chính xác một người có tuổi x nào đó trong pḥng họp. P(x) thường được gọi là mật độ xác suất.  Trong trường hợp tổng quát th́ biến x là biến thực.

Xác suất t́m ra một số người có tuổi trong khoảng x+dx sẽ là:

 

ở đây ta cần lấy cận tích phân tiến về vô cùng bởi v́ biến x nhận các giá trị thực.

Giá trị trung b́nh của biến x trong trường hợp nầy được gọi là kỳ vọng tóan học của x:

II. HÀM SÓNG (WAVE FUCTION)

             1.      Biểu thức

            Theo giả thuyết Broglie th́ đối với các hạt vi mô ngoài tính hạt c̣n có tính sóng, vậy ta hăy thử mô tả hạt vi mô như là một sóng và đó cũng là ư định của những người sáng lập môn học cơ học lượng tử.

            2.      Ư nghiă

Ở đây ta dùng hàm phức có dạng:

thay cho hàm thực để mô tả trạng thái chuyển động của hạt, bởi v́ các nhà vật lư cho rằng sóng Broglie là một dao động phức tạp. Hàm sóng phức giúp ta biết được trạng thái vi mô của các hạt chuyển động với vận tốc khá lớn và rất khó xác định gía trị  chính xác của vận tốc.

            3. Tính thông kê của hàm sóng

Xét một chùm hạt phôton chuyển động trong không gian qua một phần tử có thể tích là (V  bất kỳ bao quanh một điểm M. Theo thuyết sóng ánh sáng th́ cường độ sáng tại M tỷ lệ với b́nh phương biên độ của biểu thức dao động sóng:

            4. Điều kiện chuẩn hóa

Khi t́m hạt  trong toàn bộ không gian mà hạt cư trú, ta chắc chắn sẽ t́m thấy hạt, nghiă  là xác suất  t́m thấy hạt  trong toàn bộ không gian hạt cư trú là bằng 1

Phương tŕnh 3.22 được gọi là điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng.

Như vậy hàm sóng cho hạt chuyển động ( ta mượn biểu thức từ sự truyền sóng cơ trong không gian nhưng hàm sóng nầy không mô tả một dao động thực nào mà nó chỉ cho ta xác suất t́m hạt tại một trạng thái nào đó. Nói cách khác hàm sóng ( viết cho hạt th́ mang tính thống kê. 

            5. Điều kiện của hàm sóng

Hàm sóng phải thoả mản các điều kiện sau đây:

1-  Giới nội. Nếu hàm sóng không giới nội th́ tích phân (3.21) là phân kỳ nên mâu thuẩn với ư nghĩa xác suất.

2-  Đơn trị.  Nếu hàm sóng không đơn trị th́ ứng với mỗi trạng thái có nhiều xác suất t́m thấy hạt khác nhau. Điều đó th́ mâu thuẩn với lư thuyết xác suất.  

3-      Liên tục. Điều nầy là do xác suất  không thể thay đổi một cách nhảy vọt.

4-      Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục (sẽ đề cập ở phần sau).

            6. Quan hệ giữa sóng Broglie và hạt chuyển động

 

            7. Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm

Biểu thức 3.25 chứng tỏ vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng điều nầy có nghiă là vận tốc pha không phải là vận tốc truyền hạt  hay truyền năng lượng. 

            Cơ học lượng tử cho rằng chuyển động của các hạt không phải ứng với các sóng đơn sắc riêng biệt mà ứng với một tập hợp sóng có bước sóng gần bằng nhau (Điều nầy nhiễu xạ của electron đă chứng tỏ khi các vân nhiễu xạ có độ rộng nhất  định chứ không phải một vạch mảnh). Vậy nhiễu xạ tạo ra không phải bởi một sóng mà là do nhiều sóng có bước sóng gần nhau.

            Bó sóng là ǵ: Một tập hợp gồm nhiều sóng có bước sóng gần bằng nhau. Biên độ  của bó sóng  là tổng hợp của biên độ các sóng thành phần; c̣n hàm sóng mô tả cho bó sóng là:

III. TOÁN TỬ  (OPERATOR)

            1.  Khái niệm về toán tử

            Toán tử là ǵ:

Toán tử là một ánh xạ khi tác dụng lên một hàm bất kỳ th́ nó biến hàm đó thành một hàm khác:

Vậy ta có toán tử được thành lập từ  hai toán tử bằng phép cộng và trừ. Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp     

            2. Hàm riêng và trị riêng của toán tử:

trong đó a là một gía trị nào đó mà ta gọi là trị riêng ứng với hàm riêng đó. Như vậy khi ta tác dụng toán tử lên hàm riêng của nó th́ ta được chính hàm riêng đó nhân với trị riêng tương ứng với hàm riêng đó. Trị riêng của một toán tử có thể lấy các giá trị gián đoạn hoặc các gía trị liên tục. Số lượng trị riêng của một toán tử có thể là hữu hạn hoặc là vô hạn. 

            3. Các toán tử  trong cơ học lượng tử

a-Biến số động lực học: Các nhà sáng lập cơ học lượng tử cho rằng nếu như trong cơ học cổ điển trạng thái của hệ  được xác định bằng một tập hợp các biến số như toạ độ, vận tốc, xung lượng, năng lượng th́ trong cơ học lượng tử một trạng thái của hệ được đặc trưng bằng các biến số động lực học tương tự như các biến số trong cơ học cổ điển .

b- Trong qúa tŕnh sử dụng các biến số động lực học người ta phải chấp nhận một số tiên đề sau đây :

Tiên đề 1: Mỗi biến số động lực học được biểu diễn bằng một toán tử HERMITE có phổ trị riêng là các số thực mà nó được đo đạc thực nghiệm từ biến số của đại lượng vật lư cổ điển tương ứng. Ví dụ toán tử năng lượng có phổ trị riêng là các gía trị năng lượng  được đo từ thực nghiệm.

Tiên đề 2: Hệ thức giữa các toán tử trong cơ học lượng tử có dạng giống hệt như dạng các biến số của đại lượng trong cơ học cổ điển tương ứng.

Sau đây ta giới thiệu một số toán tử thông dụng trong cơ học lượng tử :

 

IV.  PHƯƠNG TR̀NH SCHRODINGER (SCHRODINGER EQUATION)

Nhắc lại hàm sóng Broglie cho một hạt chuyển động tự do có năng lượng E và xung lượng P là:

            Tóm lại phương tŕnh Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt có vai tṛ giống như phương tŕnh định luật II Newton trong cơ học cổ điển.

            Giải phương tŕnh Schrodinger trong không gian rất phức tạp nên đơn giản ta chỉ giải những bài toán một chiều. 

V.  HẠT TRONG HỐ THẾ SÂU VÔ HẠN

 

 

 

 

Kết qủa quan trọng của bài toán là năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế chỉ có thể nhận những  gía trị gián đoạn (gía trị đó tỷ lệ với b́nh phương các số nguyên). Ta có thể xác định hằng số A trong nghiệm (3.51) bằng điều kiện chuẩn hóa:

VI.  DAO ĐỘNG TỬ  ĐIỀU H̉A

            Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trên trục x chịu tác dụng của một lực F tỷ lệ với x và trái dấu với x. Theo cơ học cổ điển hạt sẽ dao động quanh vi trí cân bằng x=0 v́ thế ta gọi nó là dao động tử điều ḥa. Phương tŕnh của dao động tử điều hoà theo cơ học cổ điển là:

VII. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

Hệ số phản xạ và hệ số truyền qua

            Hệ số phản xạ R: là tỷ số giữa b́nh phương biên độ sóng phản xạ tại rào thế và b́nh phương biên độ sóng tới tại hàng rào thế. Nếu xét trên phương diện ánh sáng th́ hệ số phản xạ là tỷ số mật độ phôtôn phản xạ và mật độ phôtôn tới trong một đơn vị thời gian. 

            Hệ số truyền qua D: là tỷ số giữa b́nh phương biên độ sóng truyền qua hàng rào thế và b́nh phương biên độ sóng tới tại hàng rào thế. Nếu xét trên phương diện ánh sáng th́ hệ số truyền qua là tỷ số mật độ phôtôn truyền qua hàng rào thế và mật độ phôtôn tới trong một đơn vị thời gian. 

            Theo định luật bảo toàn năng lượng th́:

 R+D =1                                                                      3.86

Ta hăy tính hệ số truyền qua hàng rào D đó là tỷ số giữa b́nh phương biên độ sóng qua hàng rào và b́nh phương biên độ sóng tới hàng rào:

Hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra đối với kích thước vi mô. Nghĩa là hệ số truyền qua D chỉ đáng kể khi độ rộng hố thế a là rất nhỏ, khi đó hạt thể hiện tính chất sóng của vi hạt và điều đó không thể có với các hạt vĩ mô.

Hiệu ứng đường ngầm nầy cho phép ta giải thích nhiều hiện tượng trong tự nhiên như hiện tượng phát electron trong kim loại mà không cần cung cấp nhiệt lượng. Người ta thường gọi đó là sự phát xạ elctron lạnh. Muốn electron thoát ra khỏi bề mặt kim loại, ta cần nung nóng kim loại để nó có đủ năng lượng thắng công cản mà vượt qua hàng rào thế. Tuy nhiên do hiệu ứng đường ngầm nên ngay ở nhiệt độ pḥng b́nh thường (300 0K) electron cũng có khả năng thoát ra khỏi kim loại.

 

BÀI TẬP

 

TRẮC NGHIỆM

  1. Theo giả thuyết Broglie về hạt và sóng:

a)      Hạt vi mô có tính chất sóng và tính chất hạt.

b)      Bước sóng của vi hạt có quan hệ với năng lượng của vi hạt.

c)      Bước sóng của vi hạt có quan hệ với xung lượng của vi hạt.

d)      Tất cả các ư trên.

  1. Hàm sóng của hạt vi mô (vi hạt) được biểu diễn bằng hàm phức bởi v́:

a)      Hàm phức có thể xác định quỹ đạo của hạt chuyển động.

b)      Hàm phức có thể xác định tọa độ và vận tốc của hạt chuyển động.

c)      B́nh phương biên độ hàm sóng là mật độ xác suất t́m thấy hạt.

d)      Trạng thái của vi hạt là các trạng thái ảo, không có thật.

  1. Các điều kiện của hàm sóng cho vi hạt là:

a)      Giới nội.

b)      Đạo hàm theo mọi biến, theo mọi bậc là liên tục.

c)      Đơn trị.

d)      Đơn trị, giới nội và có đạo hàm bậc nhất theo biến không gian là liên tục.

  1. Ư nghĩa của điều kiện chuẩn hoá hàm sóng là:

a)      Xác suất t́m được hạt trong vùngü không gian hạt tồn tại bằng một.

b)      Xác suất t́m được hạt trong một đơn vị thể tích bằng một.

c)      Xác suất t́m được hạt trong một đơn vị thời gian bằng một.

d)      Không thể xác định chính xác quỹ đạo của vi hạt mà phải dùng khái niệm đám mây điện tử.

  1. So sánh vận tốc pha và vận tốc nhóm th́:

a)      Vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc nhóm.

b)      Vận tốc pha lớn hơn vận tốc nhóm

c)      Vận tốc pha nhỏ hơn vận tốc ánh sáng trong chân không.

d)      Vận tốc pha lớn hơn vận tốc ánh sáng trong chân không.

e)      Câu b và câu d là đúng.

  1. Trong bài toán dao động tử điều ḥa:

a)      Năng lượng dao động ở độ không tuyệt đối là khác không.

b)      Ở độ không tuyệt đối không có sự suy biến mức năng lượng.

c)      Năng lượng của hạt vi mô dao động là không đổi.

d)      Năng lượng của hạt vi mô dao động bị lượng tử hoá.

e)      Các câu a, b, d là đúng.

  1. Hiệu ứng đường ngầm dùng để giải thích:

a)      Phản ứng nhiệt hạch.

b)      Sự phát xạ ở điều kiện thường của e trong kim loại.

c)      Hiện tượng quang điện.

d)      Hiện tượng phát ra tia X.

  1. Theo bài toán Hiệu ứng đường ngầm:

a)      Tổng Hệ số phản xạ và hệ số truyền qua bằng 1.

b)      Không có sự phản hồi của sóng khi sóng truyền xa vô cùng.

c)      Cường độ của sóng truyền đi tỉ lệ mật độ hạt phôrôn.

d)      Dù năng lượng của các vi hạt có nhỏ hơn thế năng hàng rào th́ vẫn có một số hạt xuyên qua hàng rào.

  1. Hệ số truyền qua của vi hạt trong Hiệu ứng đường ngầm phụ thuộc:

a)      Bán kính của vi hạt.

b)      Năng lượng hàng rào thế.

c)      Khối lượng của vi hạt.

d)      Vận tốc của vi hạt.

e)      Tất cả các yếu tố trên.